Question

当0<x<π/2时，sinx+tanx>2x。该怎么证明这个不等式？麻烦各位看下，谢谢！最好有步骤

Answer 1

解引入函数f（x）＝sinx＋tanx－2x，则：
f′（x）
＝cosx＋1/（cosx）^2－2
＝［（cosx）^3－2（cosx）^2＋cosx＋1－cosx］/（cosx）^2
＝［cosx（cosx－1）^2＋1－cosx］/（cosx）^2。
∵x是锐角，∴0＜cosx＜1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，π/2）上是增函数，
又f（0）＝sin0＋tan0－2×0＝0，∴f（x）在（0，π/2）上恒为正数，
∴在（0，π/2）上，sinx＋tanx－2x＞0，∴在（0，π/2）上，sinx＋tanx＞2x。

Answer 2

可以构造函数，答案如图所示

Answer 3

证明：
考虑函数f(x)=sinx+tanx-2x(0≤x<π/2)
f′(x)
=(sinx+tanx-2x)'
=(cosx+1/cos²x)-2
=(cos³x-2cos²x+1)/cos²x
=(cos³x-cos²x+1-cos²x)/cos²x
=(cosx-1)(cos²x-cosx-1)/cos²x
=(cosx-1)[(cosx-1/2)²-5/4]/cos²x
=(1-cosx)[5/4-(cosx-1/2)²]/cos²x
～～～～～～～～～～～～～～～
∵ 0≤x<π/2
∴ 0<cosx≤1
∴ 1-cosx≥0
又 1≤5/4-(cosx-1/2)²≤5/4
故，5/4-(cosx-1/2)²>0
∴ (1-cosx)[5/4-(cosx-1/2)²]/cos²x≥0
∴ f'(x)≥0
∴ f(x)在[0，π/2)上单调递增
∴ π/2>x>0时f(x)>f(0)=0
即，
π/2>x>0时，
tanx+sinx-2x>0
tanx+sinx>2x
～证毕～