Question

边缘概率密度的积分上下限的问题

1.边缘概率密度的积分上下限到底如何确定，是用一条直线直接穿过区域的两端吗？谢谢了。2.详细过程提供一下，万分感谢了。

Answer 1

假设X,Y是两个随机变量，F(X,Y)是它们的联合分布函数，f(x,y)是它们的联合概率密度函数。同时设边缘概率密度函数分别为P(x)，P(x)。

首先，F(X,Y)=P(x<=X,y<=Y)，即，它表示的是一个点 (x,y)落在区域 {x<=X,y<=Y} 内的概率，那么写成积分的形式就是:

F(X,Y)=∫[-infinity<x<=X]∫[-infinity<y<=Y]f(x,y)dxdy;

注意这里面的积分上限分别是x,y，积分下限都是“-无穷”，而在具体的问题中，积分上下限可能会有改变。

相同的边缘分布：

可构成不同的联合分布，这反映出两个分量的结合方式不同，相依程度不同。这种差异在各自的边缘分布中没有表现，因而必须考察其联合分布。

如果X是由全部实数或者由一部分区间组成，则称X为连续随机变量，连续随机变量的值是不可数及无穷尽的。

Answer 2

假设X,Y是两个随机变量，F(X,Y)是它们的联合分布函数，f(x,y)是它们的联合概率密度函数。同时设边缘概率密度函数分别为P(x)，P(x)。

首先，F(X,Y)=P(x<=X,y<=Y)，即，它表示的是一个点 (x,y)落在区域 {x<=X,y<=Y} 内的概率，那么写成积分的形式就是。

F(X,Y)=∫[-infinity<x<=X]∫[-infinity<y<=Y]f(x,y)dxdy。

注意这里面的积分上限分别是x,y，积分下限都是“-无穷”，而在具体的问题中，积分上下限可能会有改变。

相同的边缘分布：

可构成不同的联合分布，这反映出两个分量的结合方式不同，相依程度不同。这种差异在各自的边缘分布中没有表现，因而必须考察其联合分布。

如果X是由全部实数或者由一部分区间组成，则称X为连续随机变量，连续随机变量的值是不可数及无穷尽的。

联合概率分布的几何意义。

如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。

Answer 3

要从联合密度函数求出X的边缘密度函数，那么就要消掉原表达式中的y，因此是对y进行积分，积分的上下限当然是y的取值范围了，但是要把y的取值范围用含x的表达式写出来，这样积分之后就只剩下x，当然就得出了X的边缘密度函数。

相同的边缘分布：

可构成不同的联合分布，这反映出两个分量的结合方式不同，相依程度不同。这种差异在各自的边缘分布中没有表现，因而必须考察其联合分布。

如果X是由全部实数或者由一部分区间组成，则称X为连续随机变量，连续随机变量的值是不可数及无穷尽的。

以上内容参考：百度百科--边缘分布函数

以上内容参考：百度百科--联合概率分布

Answer 4

假设X，Y是两个随机变量，F(X，Y)是它们的联合分布函数，f(x，y)是它们的联合概率密度函数。同时设边缘概率密度函数分别为P(x)，P(x)。

首先，F(X，Y)=P(x<=X，y<=Y)，即，它表示的是一个点 (x，y)落在区域 {x<=X，y<=Y} 内的概率，那么写成积分的形式就是:

F(X,Y)=∫[-infinity<x<=X]∫[-infinity<y<=Y]f(x,y)dxdy;

注意这里面的积分上限分别是x，y，积分下限都是“-无穷”，而在具体的问题中，积分上下限可能会有改变。

引例

有一个班（即样本空间）体检，指标是身高和体重，从中任取一人（即样本点），一旦取定,都有唯一的身高和体重（即二维平面上的一个点）与之对应，这就构造了一个二维随机变量。由于抽样是随机的，相应的身高和体重也是随机的，所以要研究其对应的分布。

Answer 5

分析如下：

追答

主要是把积分区域看懂

积分区域的写法变换一下后，对x的积分上下限就确定了

写错了，应该是这样：

追问

我是这样理解的，我是用一根平行X轴的直线穿过积分区域，它的左右两个交点的横坐标就是积分的上下限，因此积分区域就变成2分之y-1到0，对不对

追答

对，可以