Question

f(x+y)=f(x)+f(y)是什么函数/

Answer 1

若f(x)是连续函数或者至少f(x)在x=0点连续，则f(x)是线性函数f(x)=x*f(1)。
首先，f(0)=0（令y=0），对任意自然数n，f(nx)=f((n-1)x)+f(x)=……=nf(x)，又因为0=f(0)=f(nx)+f(-nx)，所以f(-nx)=-n*f(x)，即对任意整数n，f(nx)=nf(x),令z=nx，则f(z)=n*f(1/n*z)，即f(1/n*z)=1/nf(z)。
所以，f(n)=n*f(1)，f(1/n)=1/nf(1)。
f(m/n)=m*f(1/n)=m/nf(1)，即对所有有理数x，都有f(x)=xf(1)。
对任意实数x，x是一列有理数的极限，假设x=lim xn，xn是有理数。所以f(x)-lim f(xn)=lim f(x)-f(xn)=lim f(x-xn)=0, 所以f(x)=lim f(xn)=lim xnf(1)=f(1)lim xn=xf(1)。

Answer 2

令y=x=0 得f(0)=0 再令y=-x 得f(x)=-f(-x) 所以是一个奇函数

Answer 3

有很多函数满足，例如所有的直线都满足这个条件。

Answer 4

多数是线性函数 比如y=e^x