Question

急~微积分 求积分

∫(e^2)(1+x^2)^(-2) dx
求解谢谢~

Answer 1

1
变上限积分及其导数
定义：设
，则称
为变上限积分，显然此积分是积分上限
的函数，记为
，即
。
定理1：若
，则
可导，且
，即
的一个原函数。
证：
，即
推论1
若
，则
推论2
若
，则
证：
故
推论3
若
，则
定理2
若
，则
例1、求
的导数
解：
例2
求由
确定的隐函数的导数
解：
例3
设
在
内连续，且
，证明函数
在
内为单调增加函数。
证明：
，
当
时，
，
，从而
函数
在
内为单调增加函数。
例4
求下列极限：
①
解：原式
②
解：原式
2
牛顿——莱布尼兹公式
定理3
设
，
为
在
上的原函数，则
证：因
为
的原函数，由定理1
也为
的一个原函数，
故
。
令
，得
，有
，
再令
，即有
注：在用此公式求定积分时，
一定要为
在
上的原函数。
例如，
，而
例4
求下列定积分
①
②
解：原式
③
④
公式显示不出，详见网页

Answer 2

先从恒等式arctanx=∫1/(1+x^2)dx出发：
arctanx=∫1/(1+x^2)dx=x/(1+x^2)+2∫(x^2)/(1+x^2)^2dx --------- 分步积分法
arctanx=x/(1+x^2)+2(∫(1+x^2)/(1+x^2)^2dx - ∫1/(1+x^2)^2dx)
arctanx=x/(1+x^2)+2(∫1/(1+x^2)dx - ∫1/(1+x^2)^2dx)
arctanx=x/(1+x^2)+2arctanx - 2∫1/(1+x^2)^2dx
∫1/(1+x^2)^2dx=(x/(1+x^2)+arctanx)/2

∫(e^2)(1+x^2)^(-2)dx=(e^2)∫1/(1+x^2)^2dx=(e^2)(x/(1+x^2)+arctanx)/2