Question

三角形全等的证明题(典型）

要有答案和过程

Answer 1

奥赛专题 -- 盈亏问题

人们在分东西的过程中经常会遇到多了（盈）或者少了（亏）这样的情况，数学来源于生活，根据分东西的这一过程编成的应用题就是盈亏问题。盈亏问题在奥数题中很常见也很重要，所占的分值也比较大。盈亏问题以及用两种相似的条件限制同一对象的应用题．解题的基本步骤为先恰当设定单位，然后通过比较而求出一个单位对应的具体数值。下面请看典型例题，从例题中可以更清楚地找到解答这一类题的方法。

1．少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？
：解这道题的关键在于条件的转换，把“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑” 转换成“每人挖6个树坑，还差2×（6－4）个树坑。”则本题成为“一盈一亏”的盈亏问题；对比两个条件，因为每人多挖（6－5）一个；所以就要多挖〔3＋2×（6－4）〕个，这样就可求出人数，继而求出树坑数。在这里我们把两个条件中每人挖的差（6－5）叫分差，因两个条件中每人挖的数量不同而产生的差叫总差。
本题中：总差÷分差＝人数；
推广可得：两次分配的差叫分差，
总差分3种：一盈一亏中：盈＋亏＝总差；在双盈或双亏中：大数－小数＝总差；
总差÷分差＝份数 份数在不同的题目中表示不同的意思。
解：〔3＋2×（6－4）〕÷（6－5）＝7（人）
7×5＋3＝38（个）--树坑数 答：共挖了38个树坑。
2．钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？
：关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔，
解1：都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）90角，这是双亏：分差是（8－5）3支，总差是（90－15）75角，就是说多买3支，就多差75角；这样就可求出1支钢笔多少钱；继而求出小明带了多少钱。
〔（12×8－6）－15〕÷（8－5）＝75÷3＝25（角）--钢笔的价钱
25×5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数
解2：都转换成圆珠笔；买5支圆珠笔多（12×5－15）45角，买8支圆珠笔多6角。
〔（12×5－15）－6〕÷（8－5）＝39÷3＝13（角）--圆珠笔的价钱
13×8＋6＝104＋6＝＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数
3．某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，问这批学生可能有多少人？
：关键在于条件的理解，
每个寝室安排8个人，要用33个寝室；因没说盈或亏，
我们只能认为至少有：（33－1）×8＋1＝257（人）；至多有：33×8＝264（人）；
每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，也没说盈或亏，
我们也只能认为至少有：（33＋10－1）×（8－2）＋1＝253（人）；至多有：（33＋10）×（8－2）＝258（人）；根据这两个条件可以得到人数在257与258之间。 （至少取大数，至多取小数，）
4．有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问第二组有多少人？
：因分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。
说明第一组的人数不到48÷4＝12人，多于（48÷5＝9…3）9个人，即10到11人；
同理，第二组不到48÷3＝16人，又多与48÷4＝12人，即13到15人，
因15－10＝5（人）；由此可知：第一组是10人，第二组是15人。
5．用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深多少米？绳长多少米？
：绳三折，井外余2米，说明绳子比井深的3倍多（3×2）6米；绳四折，还差1米不到井口，说明绳子比井深的4倍少（4×1）4米，总差：（因多1折，就差）；（3×2）＋（4×1）；分差：（4－3）；这样可求出井深。
解：〔（3×2）＋（4×1）〕÷（4－3）＝10÷1＝10（米）--井深
10×3＋2×3＝36（米）--绳长
6．有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条船坐9个人。问：这个班共有多少名同学？
：条件可以这样理解，每条船坐6人，多6人；每条船坐9人，差9人。
解：（9＋6）÷（9－6）＝5（条）；5×6＋6＝36（人）
7．“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等。花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个。因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？
：根据题意我们可知盒内的球的数量一定是2、3、5的倍数，假设1份球数是30个；原来各买一份要：
30÷2＋30÷3＝15＋10＝25（元）；现在要（30＋30）÷5×2＝24（元）；即小明每买30＋30＝60个球，就可以少花1元钱，那么小明一共就买了4×60＝240个球。
解：假设1份球数是30个；4÷〔（30÷2＋30÷3）－（30＋30）÷5×2〕＝4（份）
（30＋30）×4＝240（个） 答：小明共买了240个球。

Answer 2

全等三角形指两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； 　　
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； 　　
(3)有公共边的，公共边一定是对应边； 　　
(4)有公共角的，角一定是对应角； 　　
(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角

判定公理
　　1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 　　
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。 由3可推到 　　 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 　　
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 　　
所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 　
　注意：在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形为HL，属于SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 　　 　
　6.三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形全等。
性质
　　三角形全等的条件1、全等三角形的对应角相等。 　　
2、全等三角形的对应边相等 　　
3、全等三角形的对应顶点相等。 　　
4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 　　
5、全等三角形的对应角平分线相等。 　　
6、全等三角形的对应中线相等。 　　
7、全等三角形面积相等。 　　
8、全等三角形周长相等。 　　
9、全等三角形可以完全重合。

做题技巧
　　一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。 　然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等有时还需要画辅助线帮助解题分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。 　　

例1、如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C= 20°，AB=10，AD= 4， G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数和CE的长． 　　
分析 (1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt△ACD和Rt△ABE；△ABE≌△ACD，△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG． 　　
(2)利用全等三角形的对应角相等性质及外角或邻补角的知识，求得∠EBG等于160°． 　 　(3)利用全等三角形对应边相等的性质及等量减等量差相等的关系可得
CE=CA－AE=BA－AD=6． 　　
解： 　　∵△ABE≌△ACD 　　∠C= 20°（已知） 　　∴∠ABE=∠C =20°（全等三角形的对应角相等） 　　∴∠EBG=180°－∠ABE =160°（邻补角的意义） 　　∵△ABE≌△ACD（已知） 　　∴AC=AB（全等三角形对应边相等） 　　AE=AD（全等三角形对应边相等） 　　∴CE=CA－AE =BA－AD =6（等式性质）
编辑本段例题分析
　　例1： （2006·浙江金华） 如图1，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母），使AC=BD，并给出证明. 你添加的条件是： . 　　证明： 　　
分析： 要说明AC=BD，根据图形想到先说明△ABC≌△BAD，题目中已经知道∠1=∠2，AB=AB，只需一组对边相等或一组对角相等即可. 　　
解：添加的条件是：BC=AD. 　　
证明：在△ABC与△BAD中，∠1=∠2，AB=AB，∠A=∠A' 　　∴ △ABC≌△BAD（SAS）. 　　∴ AC=BD. 　　小结：本题考查了全等三角形的判定和性质，答案不惟一，若按照以下方式之一来添加条件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，从而有AC=BD. 　 二、综合开放型 　　
例2 （2006·攀枝花）如图2，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明. 　　所添条件为_______________. 　　你得到的一对全等三角形是： 　　△ ≌△ . 　　证明： 　　
分析： 在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一条公共边，因此再添这两边的夹角相等或另一组对边也相等即可得出全等三角形. 　
解：所添条件为CE=ED. 　　得到的一对全等三角形是△CAE≌△DAE. 　　证明：在△CAE和△DAE中，AC=AD，AE=AE，CE=DE， 　　所以 △CAE≌△DAE（SSS）. 　　小结： 本题属于条件和结论同时开放的一道好题目，题目本身并不复杂，但开放程度较高，能激起同学们的发散思维，值得重视.

追问

图在哪呢？？？？？

追答

只有传一张图 真麻烦