Question

怎样证明不等式 (1+1/1^2)(1+1/2^2)(1+1/3^2)……(1+1/n^2)<e^2

Answer 1

不知道怎么搞的提示长度超了限制，私下联系我吧。令f(x)=(1+x)^2(1-x^2)^2n,在x=0处做泰勒展开得到f(x)=1+(2+2n)x+o(x),所以x≤1时有f(x)>1+x^2;令x=1/(n+1)代入即得(1+1/(n+1))^2(1-1/(n+1)^2)^(2n)>1+1/(n+1)^2

Answer 2

用数学归纳法，挺简单的

Answer 3

我是二楼的新注册号，接着回答：整理得(1+1/n)^(2n)*(1+1/(n+1)^2)<[1+1/(n+1)]^(2n+2),
然后用归纳法当n时，左边<(1+1/n)^2n,则利用上面结论知道n+1时有<(1+1/(n+1))^(2(n+1)),
而我们知道(1+1/n)^n递增到e,得证