Question

证明不等式：1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)+n/[2(n+1)]

若有多种解法 不胜感激！

Answer 1

在n>=1时，构造函数法证明。注意到ln(n+1)=ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1),
而n/(n+1)=1-1/(n+1)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/n-1/(n+1)].
于是根据要证明的表达式，两边取通项(x=1/n)构造函数f(x)=x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)],x>0,求导易得f'(x)=x^2/[2(x+1)^2]>0,x>0.
于是f(x)在x>0上单调递增，又f(x)可在x=0处连续，则f(x)>f(0)=0,x>0得x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)]>0即x>ln(1+x)+(1/2)[x-x/(x+1)],x>0.
再取1/n(>0)替换x有1/n>ln[(n+1)/n]+(1/2)[1/n-1/(n+1)]将此不等式式中的n依次从1取到n，累加得1+1/2+1/3+...+1/n>{ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1)}+(1/2){(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/n-1/(n+1)]}=ln(n+1)+(1/2)[1-1/(n+1)]=ln(n+1)+n/[2(n+1)]，
即1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)+n/2(n+1) n≥1 命题得证。