Question

初三几何难题

已知∠C=90度，BN=AC,AM=NC,求∠BPN的度数

Answer 1

过B作BD⊥BC，取BD=CN，(D、A在直线BC的同一侧)，连接DN。

∵DB=CN，∠DBN=∠NCA=90°，BN=CA

∴△DBN≌△NCA   (SAS).

∴DN=NA，∠DNB=∠NAC

∴∠DNA=180°-(∠DNB+∠ANC)=180°-(∠NAC+∠ANC)=90°,

∴△DNA是等腰直角三角形，

∴∠DAN=45°.

∵BD与MA平行且相等， (BD=NC=AM)

∴BMAD是平行四边形，即：BM‖DA，

∴∠BPN=∠DAN=45°. (同位角)

Answer 2

（1）当点P与点O重合时，∵ABCD是正方形，所以三角形COD为等边直角三角形。
∵OF为边CD上的高，由三线合一得： OF为中线。∴CF=DF.
（2）、①若点P在线段AO上（不与点A，O重合）PE⊥PB且PE交CD于点E ，则
连接PD, 则三角形PAB≌三角形PAD (SAS). ∴PD=PB, ∠ADP=∠ABP.
∵PF‖AD ∴∠ADP=∠FPD ∴∠ABP=∠FPD. (1)
而∠0BP+∠OPB=90°, ∠OPE+∠OPB=90°.
∴∠OBP=∠OPE.
∵∠OBP+∠ABP=45°,
PE‖BC,∴∠OPE+∠FPE=45, ∴∠ABP=∠FPE.（2）
由（1）和（2）得 ∠FPD=∠FPE. ∴⊿FPD≌⊿FPE（SAS）
∴DF=EF
②设边长为m, ∴DE=a-CE, ∴EF=0.5a-0.5CE.
∴CF=0.5a-0.5CE+CE=0.5a+0.5CE. 在等腰直角三角形PCF中，CF=FP.由勾股定理得 CF²+FP²=PC²即 2CF²=PC².∴PC=√2CF
∴ PC=√2(0.5a+0.5CE)=√2a×0.5+0.5×√2CE 而AC=PA+PC=√2a.
∴PC=(PA+PC)×0.5+0.5×√2CE . 整理，得
PC=PA+√2CE.

Answer 3

图看不清楚