Question

已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD‖BC（如图）.E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点。

问：如果以线段AB为直径的圆与以线段DE的圆外切，求线段BE的长

Answer 1

由已知得DE= 根号(x-4)^2+4，
又∵MH= 1/2AD+ 1/2BE，
即 1/2（x+4）= 1/2[2+根号 (4-x)^2+2^2]．
解得x= 4/3．
即线段BE的长为 4/3．

追问

为什么MH= 1/2AD+ 1/2BE？

追答

过M作AB的垂线,垂足为H
M是中点,所以MH是中位线
so MH= 1/2AD+ 1/2BE

Answer 2

因为如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论．

①当∠ADN=∠BEM时，那么∠ADB=∠BEM，
作DF⊥BE，垂足为F，
tan∠ADB=tan∠BEM．
AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．
即2：4=2：（x-4）．
解得x=8．
即BE=8．
②当∠ADB=∠BME，
而∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠BME
∴△BED∽△MEB
∵DEBE=BEEM
∴BE=2．
综上所述线段BE为8或2．