Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为线段BC上（除点B外）一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为线段BC上（除点B外）一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，CF交DE于点P．（1）求证：CF⊥BC；（2）若AC=42，CD=2，求线段CP的长．

Answer 1

解答：（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=90°，
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=AF，∠DAC+∠CAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠B=45°，
∴∠ACB+∠ACF=90°，
∴CF⊥BC；

（2）解：在Rt△ABC中，AC=4

2

，由勾股定理可求得BC=8，
∴CF=BD=8-CD=8-2=6，
过A作AG⊥BC于点G，则GC=4，

∴GD=4-2=2，在Rt△AGD中，可求得AD=2

5

，
∴EF=AD=2

5

，
设CP=x，则PF=6-x，
在Rt△CPD中，PD=

CD2+CP2

=

4+x2

．
在△CPD和△EPF中，
∵∠FCD=∠E，∠DPC=∠EPF，
∴△CPD∽△EPF，
∴

CD

EF

=

PD

PF

，
即

2

2 5

=

4+x2

6?x

，
解得x=1或x=-4（舍去），
∴CP=1．