Question

向量组的线性表示

设向量组α1=(-1,4,1),α2=(-2,5,1),α3=(a,10,2),β=(1,c,b).当a,b,c满足什么条件时
（1）β不能由α1，α2，α3线性表示
（2）β能由α1，α2，α3线性表示，但表示不唯一，并写出一般的表达式。

Answer 1

-1 -2 a 1
4 5 10 c
1 1 2 b

r1+r3, r2-4r3
0 -1 a+2 b+1
0 1 2 c-4b
1 1 2 b

r1+r2
0 0 a+4 c-3b+1
0 1 2 c-4b
1 1 2 b

r1<->r3
1 1 2 b
0 1 2 c-4b
0 0 a+4 c-3b+1

所以有:
当 a≠-4 时, 方程组有唯一解 (此时系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=3)
对应β可由α1，α2，α3唯一线性表示.
当 a=-4, c-3b+1≠0 时, 方程组无解 (此时 r(A)=2, 增广矩阵的秩=3)
对应β不能由α1，α2，α3线性表示.
当 a=-4, c-3b+1=0 时, 方程组无穷多解 (此时 r(A)=2=增广矩阵的秩<3)
对应β能由α1，α2，α3线性表示，但表示不唯一.

增广矩阵继续化成行简化梯矩阵
1 1 2 b
0 1 2 -1-b
0 0 0 0

r1-r2
1 0 0 1+2b
0 1 2 -1-b
0 0 0 0

此时, β = (1+2b)α1+(2k-b-1)α2-kα3, k为任意常数.

满意请采纳^_^.

Answer 2

考虑矩阵P=
-1 -2 a
4 5 10
1 1 2
其行列式为-10+4a -20 -5a +10+16 = -a -4
当a不等于-4时，上述矩阵满秩，a1,a2,a3线性无关，可以唯一表示任何三维向量，
如果不能表示或者不唯一表示，则a=-4
-1 -2 -4 1
4 5 10 b
1 1 2 c
考虑上述矩阵，其有解条件是其秩和P的秩相等，也就是2
把上述矩阵第三行加上第一行，第三行乘以-4加上第二行得到

0 -1 -2 1+c
0 1 2 b-4c
1 1 2 c
为了无解，必须有1+c 不等于b-4c
所以1)的答案是1+c不等于b-4c，就是c不等于(b-1)/5，且a=-4

如果a=-4,且c=(b-1)/5，设系数为k1,k2,k3，则
k2+ 2k3 = -1-c
k1 + k2+ 2k3 = c
所以k1= 2c+1
k3=s
k2 = -1-c-2s
其中s是任意常数

Answer 3

几个线性无关的向量就构成决定了一个几维的坐标系。
所以如果向量组B的向量个数小于向量组A的向量个数。那么就无法判断B是否线性相关。
所以如果向量组B的向量个数大于等于向量组A的向量个数。那么就B一定是线性相关的。
举个例子。
二维坐标中的点肯定可以用另一个二维坐标或者是三维坐标甚至更高维数的坐标表示出来。
但用一维坐标就表示不出来。
所以如果B的个数大于等于A，只可能是B中有共线的向量无法构成比A高维度的坐标系。
而B个数小于A时，一定是无法表示A的，所以不能知道B的共线情况。

既然你做了补充。
那么就是我说的第二种情况。
B一定是线性相关的。