Question

一个数论题。

证明：如果正整数N可以表示是为都是3的倍数的三个整数的平方和，那么，它一定可以表示为都不是3的倍数的三个整数的平方和。 在网上看到很多“无聊”的解答。。请不要通过举一个例子就说已经证明。。。我要求证明。。另外，不是通过程序验证。一个程序时不可能验证所有的正整数的。。

Answer 1

因为N可以表示为3个3的倍数的平方和（好拗口）。。。所以可以设N=9^n*(a^2+b^2+c^2) 其中a不是3的倍数（这样做的目的是把N的分解式中的所有的9提出来。
然后，我们可以用有限递降来实现这个证明。
N=9^n*(a^2+b^2+c^2) =9^(n-1)*(9a^2+9b^2+9c^2) =9^(n-1)*[(2a+2b-c)^2+(2b+2c-a)^2+(2c+2a-b)^2](这一步的代数变形很巧妙，中间项正好都抵消了）
其中2a+2b-c=2（a+b+c)-3c 要使2a+2b-c不是3的倍数，只需2（a+b+c)不是3的倍数即可，如果3能整除a+b+c，则使-a代替a，因为a不是3的倍数，所以2（-a+b+c)就不是3的倍数。
按这种做法执行n次，就可以把9的次数降低为0，就实现了这个转化过程。
哈哈。我刚好前几天做了这道题。。挺有趣的