Question

如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上任意一点DE⊥AC于1E，DF⊥BC于点F.

（1）求证：CE=CF （2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形?请说明理由

Answer 1

(1)∵CD是AB的中垂线，∴∠ECD=∠FCD ∵∠CED=∠CFD=90° CD公共
∴△CED≌△CFD ∴CE=CF
(2)当CD=1/2AB时，四边形CEDF成为正方形
∵当CD=1/2AB时∠CDE=∠CDF=45° ∴∠EDF=90° ∴四边形CEDF是矩形
∵CE=CF ∴四边形CEDF是正方形

Answer 2

（1）证明：因为D是线段AB的中点，所以DA=DB；
因为C是线段AB垂直平分线上任意一点，所以CA=CB；
又CD为公共边，所以三角形ACD全等于三角形BCD。
DE与DF分别是三角形ACD和三角形BCD的高，
所以DE=DF；
在直角三角形DEC和直角三角形DFC中
CD为公共边
直角三角形DEC全等于直角三角形DFC
（2）当角BCD为45度角时，四边形CEDF成为正方形
所以CE=CF

Answer 3

解：（1）证明：∵ 点C是线段AB垂直平分线上的一点
∴ 三角形ABC是等腰三角形，AC=BC
又DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∴DE=DF
∴△CDE≌△CDF(HL)
∴CE=CF
（2）当点C运动到AD=DC时，四边形CEDF为正方形。
∵∠CED=∠CFD=90°
CE=CF,DE=DF
∴若要证明点C在什么位置时，四边形CEDF为正方形，只需证明∠ECF=∠EDF=90°就可以了
那么∠ACD=∠CAD=45°
∴AD=DC
故当点C运动到AD=DC时，四边形CEDF为正方形。