Question

一阶线性微分方程，通解，谢谢

Answer 1

求微分方程 y'=(y+lnx)/x 的通解。
解：y'-(y/x)=(lnx)/x.........①；先求齐次方程y'-(y/x)=0的通解：
分离变量得：dy/y=dx/x；积分之得：lny=lnx+lnc₁=lnc₁x;
故齐次方程的通解为：y=c₁x；将c₁换成x的函数u，得：y=ux..........②
对②取导数得：y'=u+xu'.........③；将②③代入原式得：u+xu'=(ux+lnx)/x=u+(lnx)/x
化简得xu'=(lnx)/x；故u'=(lnx)/x²，即du=[(lnx)/x²]dx；∴u=∫[(lnx)/x²]dx.............④
令lnx=t，则x=e^t，dx=e^tdt；代入④式得：u=∫[(t/e^2t)](e^t)dt=∫te^(-t)dt
=-∫td[e^(-t)]=-[te^(-t)-∫e^(-t)dt]=-te^(-t)+∫e^(-t)dt=-te^(-t)-∫e^(-t)d(-t)
=-te^(-t)-e^(-t)+c=-(t+1)/e^t+c=-[(1+lnx)/x]+c；代入②式即得原方程的通解为：
y=x{-[(1+lnx)/x]+c}=cx-1-lnx;

Answer 2

y'=y/x+lnx/x
先求齐次方程y'=y/x的通解
dy/y=dx/x
ln|y|=ln|x|+ln|C|
即y=Cx
由常数变易法，令y=C(x)x
则y'=C'(x)x+C(x)
代入原方程得
C'(x)=lnx/x²
C(x)=∫lnx/x² dx
=-∫lnx d(1/x)
=-lnx/x +∫1/x² dx
=-lnx/x - 1/x + C
故原方程的通解为
y=x(-lnx/x - 1/x + C)
即y=-lnx -1 +Cx