高数，换元法求不定积分 100
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解：因为(xlnx)'=lnx+x*1/x=1+lnx.有d(xlnx)=(1+lnx)dx
故原式=Sd(xlnx)/(4+(xlnx)^2)
令xlnx=t,
原式=Sdt/(4+t^2)
=Sdt/4(1+(t/2)^2)
=S2d(t/2)/4(1+(t/2)^2)
=1/2 *Sd(t/2)/(1+(t/2)^2)
=1/2 drctant/2+C
=1/2 drctan(xlnx/2)+C,其中C为任意常数。
故原式=Sd(xlnx)/(4+(xlnx)^2)
令xlnx=t,
原式=Sdt/(4+t^2)
=Sdt/4(1+(t/2)^2)
=S2d(t/2)/4(1+(t/2)^2)
=1/2 *Sd(t/2)/(1+(t/2)^2)
=1/2 drctant/2+C
=1/2 drctan(xlnx/2)+C,其中C为任意常数。
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(4) I = ∫ e^(2x)2^x dx = (1/2) ∫ 2^x de^(2x)
= (1/2)e^(2x)2^x - (1/2) ∫ e^(2x)2^xln2 dx
= (1/2)e^(2x)2^x - (ln2/2) I
得 I = [1/(2+ln2)]e^(2x)2^x + C
= (1/2)e^(2x)2^x - (1/2) ∫ e^(2x)2^xln2 dx
= (1/2)e^(2x)2^x - (ln2/2) I
得 I = [1/(2+ln2)]e^(2x)2^x + C
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………
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