Question

对于有理数x,用[x]表示不大于x的最大整数,试求方程【3x+1】=2x-1/2所有解之和

Answer 1

解：因为[x]表示不大于x的最大整数
即[x]≤x
对于任意x显然有以下结论成立：
x-1＜[x]≤x

因为[3x+1]=2x-1/2
由x-1＜[x]≤x知3x+1-1＜[3x+1]≤3x+1
即3x＜[3x+1]≤3x+1
所以3x＜2x-1/2≤3x+1
对于3x＜2x-1/2,解得x＜-1/2
对于2x-1/2≤3x+1,解得-3/2≤x

故-3/2≤x＜-1/2

又由[3x+1]=2x-1/2知2x-1/2是整数
那么设2x-1/2=k(k∈Z)
那么x=k/2+1/4

当k=-2时,x=-3/4满足-3/2≤x＜-1/2
当k=-3时,x=-5/4满足-3/2≤x＜-1/2
其余均不满足

故方程[3x+1]=2x-1/2的解有x=-3/4或x=-5/4

所以方程[3x+1]=2x-1/2所有解之和是(-3/4)+(-5/4)=-2

有什么不明白的可以追问。

追问

那这个题目算是什么类型的题呢？？

Answer 2

解：【1】易知，[3x+1]是一个整数，可设m=[3x+1],(其中，m∈Z).则m=2x-(1/2),由题设可知，3x＜m≤3x+1.∴3x＜2x-(1/2)≤3x+1.===>-3/2≤x＜-1/2.当x∈[-3/2,-1/2)时，易知，-7/2≤2x-(1/2)＜-3/2.而在区间[-7/2,-3/2)内的整数仅有-3和-2这两个。∴m=-3或m=-2.【2】当m=-3时，2x-(1/2)=-3.===>x=-5/4,当x=-2时，2x-(1/2)=-2.===>x=-3/4.∴原方程两个根为x1=-5/4,x2=-3/4.∴x1+x2=-2.即原方程两根的和=-2.

追问

有点乱啊、、

Answer 3

原方程两个根为x1=-5/4,x2=-3/4.∴x1+x2=-2.即原方程两根的和=-2.