Question

已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a(2)求证:当a≥1时,函数f(x)的图像与x轴有且只有一个

f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a,求证a>=1时f(x)图像与x轴有且只有一个交点

Answer 1

因为f'(x)=x^2-2x+a=(x-1)^2+a-1，当a>1时，f'(x)>=0，当a=1时，仅当x=2时，f'(x)=0，其余有f'(x)>0，所以可知f(x)为增函数，其图像与x轴的交点不会超过1点。
此外，f(x)=1/3x^3-x^2+a(x-1)，有f(1)=1/3-1=-2/3<0，f(3)=2a>0，说明f(x)的图像与x轴必有一个交点。所以f(x)图像与x轴有且只有一个交点。