Question

已知f(x)=x/x-a(x不等于a).(1)若a=-2,试证f(x)在(负无穷，-2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1,正无穷)内单

已知f(x)=x/x-a(x不等于a).(1)若a=-2,试证f(x)在(负无穷，-2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1,正无穷)内单调递减，求a的取值范围。

Answer 1

(1) f(x)=x/(x+2) 任取 x1,x2属于(负无穷，-2)，且x1<x2，有
f(x1)-f(x2)=x1/(x1+2)-x2/(x2+2)
=2(x1-x2)/((x1+2)(x2+2)) x1-x2<0, (x1+2)(x2+2)>0
所以 f(x1)-f(x2)<0 所以f(x)=x/(x+2) 在(负无穷，-2)内单调递增
(2)f(x)=x/(x-a) 任取 x1,x2属于(1,正无穷),且x1<x2，有
f(x1))-f(x2)=x1/(x1-a)-x2/(x2-a)
=a(x2-x1)/((x1-a)(x2-a))
因为f(x)在(1,正无穷)内单调递减，所以f(x1))-f(x2)>0
又x2-x1>0, a>0 所以(x1-a)(x2-a)>0
所以a的取值范围为：0<a<=1

Answer 2

解：a=-2带入方程式得 ：f(x)=x/(x+2)=(x+2-2 )/(x+2)=1-2/(x+2)
即f(x)=1-2/(x+2)
设X2<X1，则 X1-X2 > 0
f(X1) - f(X2)=1-2/(X1+2) - [1-2/(X2+2) ]
=-2/(X1+2) + 2/(X2+2)
=(2X1+4-2X2-4) / (X1+2)(X2+2)
=2(X1-X2) / (X1+2) (X2+2)
因为 X1-X2 > 0
所以 当 X2<X1<-2时
(X1+2) <0 (X2+2)<0
所以(X1+2) (X2+2)> 0
分子分母均>0
所以f(X1) - f(X2)>0
由此证明，当X2<X1<-2时
f(X2)<f(X1)
此函数为递增函数。

Answer 3

设x1<x2<0,
F(x1)-f(x2)= X1 - x2
X1+2 x1+2
= x1(x2+2)-x2(x1+2)
(x1+2)(x2+2)

=2(x1-x2)
(x1+2)(x2+2)
由定义域可知(x1+2)(x2+2)大于0，因为x1<x2<0,所以f(x1)<f(x2) 即是f(x)在(负无穷，-2)内单调递增
a<0
由于书写有点问题,难写啊