Question

求第二题的不定积分

Answer 1

令x＝tanu,则：dx＝［1/（cosu）^2］du.
∴∫［1/√（1－x^2）^3］dx
＝∫｛1/［1/（cosu）^3］［1/（cosu）^2］du
＝∫cosudu
＝sinu＋C
＝√｛（sinu）^2/［（sinu）^2＋（cosu）^2］｝＋C
＝√｛（tanu）^2/［1＋（tanu）^2］｝＋C
＝√［x^2/（1＋x^2）］＋C
＝x√（1＋x^2）/（1＋x^2）＋C

追答

6.
令√（x^2－9）＝u,则：x^2＝u^2＋9,∴d（x^2）＝2udu.
∴∫［√（x^2－9）/x］dx
＝（1/2）∫［2x√（x^2－9）/x^2］dx
＝（1/2）∫［√（x^2－9）/x^2］d（x^2）
＝（1/2）∫［u/（u^2＋9）］·2udu
＝∫｛［（u^2＋9）－9］/（u^2＋9）｝du
＝∫du－9∫［1/（u^2＋9）］du
＝u－9∫｛1/［9（u/3）^2＋9］｝du
＝u－3∫｛1/［（u/3）^2＋1］｝d（u/3）
＝u－3arctan（u/3）＋C
＝√（x^2－9）－3arctan［（1/3）√（x^2－9）］＋C.