Question

级数 证明题~

已知∑（n=1到∞）an^2与∑（n=1到∞）bn^2都收敛，证明∑（n=1到∞）| an bn|及∑（n=1到∞）（an + bn）^2 、∑（n=1到∞）| an |/n都收敛

Answer 1

(1)(an)^2+(bn)^2>=2| an bn|
∑（n=1到∞）[(an)^2+(bn)^2]=∑（n=1到∞）an^2+∑（n=1到∞）bn^2收敛,
强级数收敛,弱级数必收敛,所以∑（n=1到∞）| an bn|收敛;
(2)(|an|+|bn|)^2>=（an + bn）^2 ,同理强级数收敛,弱级数必收敛!
(3)an^2+1/n^2>=2|an|*1/n
而∑（n=1到∞）an^2与∑（n=1到∞）/1n^2收敛,同理强级数收敛,弱级数必收敛!