Question

求用MATLAB编制方程求根的二分法和Newton法的 Matlab 程序！！！谢谢~

求用MATLAB编制方程求根的二分法和Newton法的 Matlab 程序。
利用所编制的程序, 求解方程 的最小正根, 要求精度 。
其中二分法的有根区间取为 【4.0,4.6】，Newton 法的初始值取为x。=4.6 。

Answer 1

这个有例子
区间二分法：
与对分查找法相同
1 区间二分法求出的仅仅是方程的一个单根，如果方程有重根或者多个根时，在做区间二分法时就会出现分叉，这样方程有几个根，就会产生几个实数序列，每一个实数序列的极限便是方程的一个根
2 通常用区间二分法为一些迭代法提供靠近x^*的初始选代值；
3 区间二分法的缺点是不能求方程的复数根。

format long
a=5;
b=6;
x1=a;
x2=b;
f1=4*cos(x1)+4*sin(x1)+0.5*x1-2; f2=4*cos(x2)+4*sin(x2)+0.5*x2-2;
step=0.000001;
ii=0;
while abs(x1-x2)>step
ii=ii+1;
x3=(x1+x2)/2;
f3=4*cos(x3)+4*sin(x3)+0.5*x3-2;
if f3~=0
if f1*f3<0
x2=x3;
else
x1=x3;
end
end
end
x3
f=[4*cos(x3)+4*sin(x3)+0.5*x3] disp(['迭代次数：',num2str(ii),'次'])

牛顿迭代法求解:
在方程f(x)=0有实数根的情况下，若能够将方程等价地转化成x=g(x)的形式，然后取一个初始值x0代入x=g(x)的右端，算得x1=g(x0)，再计算x2=g(x1)，这样依次类推
x(k+1)=g(x(k))
可以得到一个序列xk，通常称g(x)为迭代函数，序列xk为由迭代函数产生得迭代序列，x0为迭代初始值。

同一个方程，不同等价形式的转换产生的迭代法可能收敛，也有可能发散．关于迭代法的敛散性判定有下面的定理(也称李普希兹（Lipschitz定理):
如果迭代函数g(x)在区间[a,b]上连续，且满足以下条件，
1 对于任意的x=[a,b]，有g(x)=[a,b]
2 在区间内(a,b)内，函数g(x)满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对于任意的x,y=(a,b)，都有|g(x)-g(y)|=<L|x-y|,如果有L<1,则迭代格式xk+1=g(xk),k=0,1,2,..
对于任意的迭代初始值x0=[a,b]均是收敛的
这里与x和y无关的正常数L称为Lipschitz常数。

一种较为特殊得迭代法为牛顿（Newton）迭代法
xk+1=xk-f(xk)/f'(xk)
相应迭代函数为 g(x)=x-f(x)/f'(x)
Newton迭代法的几何意义：它的第k+1次迭代值就是曲线y=f(x)在点(xk,f(xk))处切线y-f(xk)=f'(xk)(x=xk)与轴的交点的横坐标，

%解方程：f=4*(cos(x1)+sin(x1)+0.5*x1-2)＝0
x0=9.6;
x1=x0-(4*(cos(x0)+sin(x0))+0.5*x0-2)/(4*(cos(x0)-sin(x0))+0.5);
while abs(x1-x0)>0.000001
x0=x1;
x1=x1-(4*(cos(x0)+sin(x0))+0.5*x0-2)/(4*(cos(x0)-sin(x0))+0.5);
end
f=4*(cos(x1)+sin(x1)+0.5*x1-2)

弦截法:

单点弦截法:
连接两个端点与作弦(a,f(a)) 与(b,f(b))作弦，此弦与轴交点的横坐标设为 x1.
如果f(x1)=0，则x1即为所求根，否则选取(x1,f(x1))点和点(a,f(a))（该点的选取要满足条件f(a)与f''(x)同号，并改记为(x0,f(x0))。再做弦
此弦与轴交点的横坐标设为 x2,依次类推，其迭代格式即为
xk+1=xk-f(xk)*(xk-x0)/(f(xk)-f(x0)

双点弦截法:
无固定点
xk+1=xk-f(xk)*(xk-xk-1)/(f(xk)-f(xk-1)

format long
nx=[];
nx(1)=5;
nx(2)=nx(1)-(2^nx(1)-nx(1)^2-1)/(2^nx(1)*log(2)-2*nx(1));
k=1;
while abs(nx(k+1)-nx(k))>=10^(-6)
k=k+1;
nx(k+1)=nx(k)-(2^nx(k)-nx(k)^2-1)/(2^nx(k)*log(2)-2*nx(k));
end
nk=k+1; disp(['牛顿迭代法迭代次数：',num2str(nk),blanks(4),'方程的解：',num2str(nx(nk))])

dx=[];
dx(1)=5; dx(2)=dx(1)-(2^dx(1)-dx(1)^2-1)/((2^3-3^2-1)-(2^5-5^2-1))*(3-5);
k=1;
while abs(dx(k+1)-dx(k))>=10^(-6)
k=k+1;
dx(k+1)=dx(k)-(2^dx(k)-dx(k)^2-1)/((2^dx(k)-dx(k)^2-1)-(2^5-5^2-1))*( dx(k)-5);
end
disp(['单点迭代法迭代次数：',num2str(k),blanks(4),'方程的解：',num2str(dx(k))])

sx=[];
sx(1)=5;
sx(2)=3;
k=1;
while abs(sx(k+1)-sx(k))>=0.000001
k=k+1;
sx(k+1)=sx(k)-((2^sx(k)-sx(k)^2-1)/((2^sx(k)-sx(k)^2-1)-(2^sx(k-1)-sx(k-1)^2-1)))*(sx(k)-sx(k-1));
end
sk=k+1;
disp(['双点迭代法迭代次数：',num2str(sk),blanks(4),'方程的解：',num2str(sx(sk))])

x=3:0.05:5;
y=2.^x-x.^2-1;
yn=zeros(1,nk);
yd=zeros(1,sk);
subplot(1,2,1)
plot(x,y,sx,yd,'*')
title('双点弦截法')
gtext('y=2^x-x^2-1')
subplot(1,2,2)
plot(x,y,nx,yn,'*')
title('牛顿迭代法')
gtext('y=2^x-x^2-1')

Answer 2

这个有例子
区间二分法：
与对分查找法相同
1
区间二分法求出的仅仅是方程的一个单根，如果方程有重根或者多个根时，在做区间二分法时就会出现分叉，这样方程有几个根，就会产生几个实数序列，每一个实数序列的极限便是方程的一个根
2
通常用区间二分法为一些迭代法提供靠近x^*的初始选代值；
3
区间二分法的缺点是不能求方程的复数根。
format
long
a=5;
b=6;
x1=a;
x2=b;
f1=4*cos(x1)+4*sin(x1)+0.5*x1-2;
f2=4*cos(x2)+4*sin(x2)+0.5*x2-2;
step=0.000001;
ii=0;
while
abs(x1-x2)>step
ii=ii+1;
x3=(x1+x2)/2;
f3=4*cos(x3)+4*sin(x3)+0.5*x3-2;
if
f3~=0
if
f1*f3<0
x2=x3;
else
x1=x3;
end
end
end
x3
f=[4*cos(x3)+4*sin(x3)+0.5*x3]
disp(['迭代次数：',num2str(ii),'次'])
牛顿迭代法求解:
在方程f(x)=0有实数根的情况下，若能够将方程等价地转化成x=g(x)的形式，然后取一个初始值x0代入x=g(x)的右端，算得x1=g(x0)，再计算x2=g(x1)，这样依次类推
x(k+1)=g(x(k))
可以得到一个序列xk，通常称g(x)为迭代函数，序列xk为由迭代函数产生得迭代序列，x0为迭代初始值。
同一个方程，不同等价形式的转换产生的迭代法可能收敛，也有可能发散．关于迭代法的敛散性判定有下面的定理(也称李普希兹（Lipschitz定理):
如果迭代函数g(x)在区间[a,b]上连续，且满足以下条件，
1
对于任意的x=[a,b]，有g(x)=[a,b]
2
在区间内(a,b)内，函数g(x)满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对于任意的x,y=(a,b)，都有|g(x)-g(y)|=<L|x-y|,如果有L<1,则迭代格式xk+1=g(xk),k=0,1,2,..
对于任意的迭代初始值x0=[a,b]均是收敛的
这里与x和y无关的正常数L称为Lipschitz常数。
一种较为特殊得迭代法为牛顿（Newton）迭代法
xk+1=xk-f(xk)/f'(xk)
相应迭代函数为
g(x)=x-f(x)/f'(x)
Newton迭代法的几何意义：它的第k+1次迭代值就是曲线y=f(x)在点(xk,f(xk))处切线y-f(xk)=f'(xk)(x=xk)与轴的交点的横坐标，
%解方程：f=4*(cos(x1)+sin(x1)+0.5*x1-2)＝0
x0=9.6;
x1=x0-(4*(cos(x0)+sin(x0))+0.5*x0-2)/(4*(cos(x0)-sin(x0))+0.5);
while
abs(x1-x0)>0.000001
x0=x1;
x1=x1-(4*(cos(x0)+sin(x0))+0.5*x0-2)/(4*(cos(x0)-sin(x0))+0.5);
end
f=4*(cos(x1)+sin(x1)+0.5*x1-2)
弦截法:
单点弦截法:
连接两个端点与作弦(a,f(a))
与(b,f(b))作弦，此弦与轴交点的横坐标设为
x1.
如果f(x1)=0，则x1即为所求根，否则选取(x1,f(x1))点和点(a,f(a))（该点的选取要满足条件f(a)与f''(x)同号，并改记为(x0,f(x0))。再做弦
此弦与轴交点的横坐标设为
x2,依次类推，其迭代格式即为
xk+1=xk-f(xk)*(xk-x0)/(f(xk)-f(x0)
双点弦截法:
无固定点
xk+1=xk-f(xk)*(xk-xk-1)/(f(xk)-f(xk-1)
format
long
nx=[];
nx(1)=5;
nx(2)=nx(1)-(2^nx(1)-nx(1)^2-1)/(2^nx(1)*log(2)-2*nx(1));
k=1;
while
abs(nx(k+1)-nx(k))>=10^(-6)
k=k+1;
nx(k+1)=nx(k)-(2^nx(k)-nx(k)^2-1)/(2^nx(k)*log(2)-2*nx(k));
end
nk=k+1;
disp(['牛顿迭代法迭代次数：',num2str(nk),blanks(4),'方程的解：',num2str(nx(nk))])
dx=[];
dx(1)=5;
dx(2)=dx(1)-(2^dx(1)-dx(1)^2-1)/((2^3-3^2-1)-(2^5-5^2-1))*(3-5);
k=1;
while
abs(dx(k+1)-dx(k))>=10^(-6)
k=k+1;
dx(k+1)=dx(k)-(2^dx(k)-dx(k)^2-1)/((2^dx(k)-dx(k)^2-1)-(2^5-5^2-1))*(
dx(k)-5);
end
disp(['单点迭代法迭代次数：',num2str(k),blanks(4),'方程的解：',num2str(dx(k))])
sx=[];
sx(1)=5;
sx(2)=3;
k=1;
while
abs(sx(k+1)-sx(k))>=0.000001
k=k+1;
sx(k+1)=sx(k)-((2^sx(k)-sx(k)^2-1)/((2^sx(k)-sx(k)^2-1)-(2^sx(k-1)-sx(k-1)^2-1)))*(sx(k)-sx(k-1));
end
sk=k+1;
disp(['双点迭代法迭代次数：',num2str(sk),blanks(4),'方程的解：',num2str(sx(sk))])
x=3:0.05:5;
y=2.^x-x.^2-1;
yn=zeros(1,nk);
yd=zeros(1,sk);
subplot(1,2,1)
plot(x,y,sx,yd,'*')
title('双点弦截法')
gtext('y=2^x-x^2-1')
subplot(1,2,2)
plot(x,y,nx,yn,'*')
title('牛顿迭代法')
gtext('y=2^x-x^2-1')

Answer 3

二分法
function approx_root=bisect (a,b,tol)
fa =bifun(a);
fb =bifun(b);
while(abs(b-a)> tol)
c=(a+b)/2;
approx_root=c;
fc=bifun(c);
[a,c,b;fa,fc,fb]
if ( sign(fb) * sign(fc)<=0)
a=c;
fa=fc;
else
b=c;
fb=fc;
end
end
%----------------------------------
function f=bifun(x)
f=x^3-sin(x);%输入你的方程f（x）=0 a b为区间a=4.0,b=4.6

牛顿法 x0=4.6 n为迭代上限，tol为精度
function y=newton1(x0,n,tol)
x(1)=x0;
b=1;
i=1;A(i)=x(i);B(i)=b;C(i)=1
while(abs(b)>eps*x(i))
x(i+1)=x(i)-fun1(x(i))/dfun1(x(i));
b=x(i+1)-x(i);
i=i+1;
A(i)=x(i);B(i)=b;C(i)=feval(@fun1,x(i));
if(i>n)error('n is full');
end
end
y=x(i)
[A' C' B']
function y=fun1(x)
y=x^2-sin(x);
function f=dfun1(x)
syms x
f=double(diff('fun1',x))

追问

额 追问下 我们老师说仿照这种公式……我实在是不太会 请问可以用如下的公式帮我再编个不？谢谢…………
function mydiedai(a,b)

x = 1; % initial value
x_new = a/(b+x);

n_step = 1;
while abs(x_new-x)>1e-5 && n_step < 500
x = x_new;
x_new = a/(b+x);
n_step = n_step + 1;
end

% compare with exact value
x_new
exact = (-b + sqrt(b^2+4*a))/2