Question

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点。E为AB1上的一点，AE=3EB1。

问题一。证明；DE为异面直线AB1和CD的公垂线；问题二。设异面直线AB1与CD的夹角为45度，求二面角A1-AC1-B1的大小··求各位高手解答 ·本人感激不尽

Answer 1

问题一，用向量方法
向量AB1=向量AB+向量AA1
向量ED=向量EB1-1/2*向量AA1=1/4（向量AB+向量AA1）-1/2*向量AA1
=1/4*向量AB-1/4*向量AA1
所以向量AB*向量ED
=1/4*向量AB*向量AB-1/4*向量AA1*向量AB+1/4*向量AB*向量AA1-1/4*向量AA1*向量AA1
=1/4*（｜AB｜^2-｜AA1｜^2)=0
向量ED垂直于向量AB
同理向量DC=-1/2*向量BB1+向量BC
向量DC*向量ED=-1/8*向量AB*向量BB1+1/4*向量AB*向量BC+1/8*向量AA1*向量BB1-1/4*向量AA1*向量BC=0
向量ED垂直于向量CD
所以DE为异面直线AB1和CD的公垂线
问题二

追问

底面AA1BB1是不是正方形 如果是为什么 ··详细点 谢谢啦

Answer 2

1.证明
过C点作CF⊥AB交AB于B点，连接FD,A1B交AB1于M点
∵四边形ABCD是矩形 且AA1=AB
∴AB1⊥A1B AM=MB1
∵AE=3EB1
∴ME=EB1
∴DE∥A1B
即ED⊥AB1
∵F D分别是AB AB1中点
∴FD∥AB1
∴ED⊥FD
∵面ABC⊥面AA1B1B CF⊥AB
∴CF⊥ED
∴ED⊥面FDC
∴ED⊥CD
即ED是异面直线AB1和CD的公垂线

2.公式给忘了

追问

底面AA1BB1是不是正方形 如果是为什么 ··详细点 谢谢啦

Answer 3

(1)正方形AA1B1B，DE//A1B，A1B⊥AB1，AB1⊥DE，取AB的中点F，则CF⊥面AA1B1B，DF为CD在面AA1B1B的射影，DF⊥DE，CD⊥DE，DE为异面直线AB1和CD的公垂线
（2）AB1//DF，CF⊥DF，∠CDF=45度，CF=DF设为2，AB=BB1=2√2，AC=CB=√6，B1到面AA1C1的距离h=4√2/√6，三角形A1B1C1中，cosC1=1/√21，sinC1=√20/√21,B1到AC1的距离√6*√20/√21，设二面角A1-AC1-B1的大小为A，sinA=(4√2/√6)/(√6*√20/√21)=2√7/√30

追问

底面AA1BB1是不是正方形 如果是为什么 ··详细点 谢谢啦

追答

直三棱柱ABC-A1B1C1,AA1⊥AB,四边形AA1B1B为平行四边形
又AA1=AB
所以四边形AA1B1B为正方形