Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF=二分之一（AB-CD）

Answer 1

过点F作FG∥DA交AB于G，再过点F作FH∥CB交AB于H。
容易证得：∠FGE＝∠A，∠FHE＝∠B，
　　　　　且DFGA、FCBH都是平行四边形，得：AG＝DF，HB＝FC。
显然有：GH＝AB－AG－HB＝AB－DF－FC＝AB－CD。
由∠FGE＝∠A，∠FHE＝∠B，∠A＋∠B＝90°，得：∠FGE＋∠FHE＝90°，
即：∠GFH＝90°。
因为E、F分别是AB、CD的中点，所以：DF＝FC，DE＝EB，
结合AG＝DF，HB＝FC，得：DE－AG＝EB－HB，即：EG＝EH，所以：EF＝GH/2，
于是：EF＝（AB－CD）/2。

Answer 2

证明：过点F作FM∥AD，FN∥BC，交AB与点M、N
则四边形ADFM、BCFN是平行四边形
∴AM=DF,BN=FC
又∵F是DC的中点，∴FC=DF,∴AM=NB
又∵AE=BN,∴EM=EN
∵∠A+∠B=90°，∴∠FMN+∠FNM=90°
∴△FMN是直角三角形
∴EF=1/2MN,∴EF=二分之一（AB-CD）