Question

如图已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P为BC边的中点,PD⊥AC。求证:CD=3AD

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Answer 1

证明：提示一下，∠B=∠C=∠APD=30°，∠PAC=60°

有：AP=2AD,AC=2AP,所以AC=4AD,即CD=AC-AD=4AD-AD=3AD

Answer 2

连接AP，因为AB=AC，△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，所以∠PAC＝60°，因为PD⊥AC，所以△PAD为直角三角形，又因为∠PAC＝60°，所以∠APD＝30°,根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可得AD=1/2AP;又因为PD⊥AC，∠PAC＝60°，所以在△APC中∠PCA=30°,即AP=1/2AC；所以AC=2AP=4AD，因为AC=AD+DC，即DC=3AD。

追问

我没学“因此AD＝1/2AP”的定理，用别的方法证

Answer 3

连AP，因为AB＝AC，∠BAC=120°，所以∠PAD＝60°，
因为P为BC边的中点,PD⊥AC，所以，∠APD＝30°，
因此AD＝1/2AP，AP＝1/2AC，
所以AD＝1/4AC，即CD＝3AD

追问

我没学“因此AD＝1/2AP”的定理，用别的方法证

追答

定理：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于厁边的一半。
这个定理的证明很容易，先作一个等边三角形，并作一高，这样就有一个含30°角的直角三角形了，从这里很容易证明这个定理。
如果你学过矩形，运用矩形的性质也很容易证明这个定理。这里只是一些提示，希望对你有帮助。祝你好运。

Answer 4

证明：提示一下，∠B=∠C=∠APD=30°，∠PAC=60°
有：AP=2AD,AC=2AP,所以AC=4AD,即CD=AC-AD=4AD-AD=3AD
殊途同归

Answer 5

∠B=∠C=∠APD=30°，∠PAC=60°
有：AP=2AD,AC=2AP,所以AC=4AD,即CD=AC-AD=4AD-AD=3AD