Question

三角形奥数题

一个直角三角形，周长为P，面积为S，且P=S，P、S均为整数，求这个直角三角形三边的长。快答1!!!!
详细写过程，不止要答案，像下边那俩不行，顺便公布答案：6、8、10或5、12、13

Answer 1

因为S、P均为整数，所以三边应满足勾股数公式。
先分别设三边为abc，（不妨令c＞b＞a），
则根据题意可得a+b+c=ab/2
又因a²+b²=c²
所以化简两式子可得：
a+b=c+4 ; ab=4c+8
常见的勾股数公式有四种（百度里可以找到）
分别代入：
第一种：三边满足3n,4n,5n的关系。代入化简后的式子。得n=2,此时三边为6,8,10.
第二种：三边满足2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1的关系。代入得n=2,此时三边为5,12,13.
第三种同理代入解出n值
第四种代入解出m和n的值。不过我试过了，很困难。但是理论上可行。而且不能确定，除了这几种常见的是否还有其他不常见的值符合。奥数题就是要带几分猜测的。如果你知道了详细严谨的解答方法，麻烦告诉我，谢谢。

追问

勾股数公式怎么找？我搜了，有个百度百科，里面哪个是勾股数公式？

追答

http://zhidao.baidu.com/question/55006883.html?fr=qrl&cid=983&index=1&fr2=query

追问

你能证出这三条边的长度都是整数？怎么证明？如果证出就简单了

追答

没说三边一定是整数。但是符合勾股数公式。虽然百度百科里的公式中有提到n为正整数，但是n取大于零的分数也行，没限制。这里只是根据已知算出边长恰好为整数。

Answer 2

三边长为3 4 5

Answer 3

在三角形ACD中:sinACD/AD
=sin(110度-ACD)/AC
在三角形ADB中:sinABD/AD
=sinADB/AB
即sin(20度)/AD
=sin(150度)/AB
在三角形ACB中:sinACB/AB
=sinABC/AC
即sin(40度)/AB
=sin60度/AC
则有:sinACD/sin20度
=sin(110度-ACD)*sin40度/(sin150度*sin60度)
由于sin20度*sin40度
=cos70度*sin40度
=sin110度/2
sin60度*sinACD
=
sin(110度-ACD)*sin110度
由于sin60度*sinACD
=sin30度*sinACD
=sin(30度+ACD)/2
而sin(110度-ACD)*sin110度
=sin(110度-ACD)*cos70度
=sin(180度-ACD)/2
即sin(30度+ACD)
=sin(180度-ACD)
便有:30度+ACD
=180度-ACD
或30度+ACD
=ACD(不成立，舍)
便有ACD
=75度

Answer 4

6,8,10