Question

如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ

Answer 1

解：（1）∵在菱形ABCD中，∠A=60°
∴∠ABC=120°，BD平分∠ABC，△ABD为等边三角形
∴∠DBC
=60°，AD=BD
∴∠DBC
=∠A
∵AP=BQ
∴△BDQ≌△ADP
（2）过点Q作QE⊥AB交AB延长线与点E（如图）
∵四边形ABCD为菱形
∴AB=AD=3
∵AP=2
∴BP=1，BQ=AP=2
∠CBE=180°－120°=60°
∴BE=1，QE=根号3
∴PE=2，PQ=根号下（2²+（根号3）²=根号7
∴cos∠BPQ=PE/PQ=2/根号7=2·根号7/7

Answer 2

(1)解：连接BD
∵菱形ABCD
∴∠A=∠ADB=∠BDC=∠DBQ=60°(对角线把菱形分为两个等边三角形)
∴AD=BD
∵∠ADP+∠BDP=60°
∠BDQ+∠BDP=60°
∴∠ADP=∠BDQ
再证明△ADP全等于△BDQ
｛∠A=∠DBQ，AD=BD，∠ADP=∠BDQ
∴PD=QD
又∵∠PDQ=60°
∴△DPQ为等边三角形（正三角形）
（2）
解：（根据等边三角形面积公式：若一边为a，那么高为2分根号3a）
由题意得：DP为x
∴S△DPQ=4分之根号3
·
x^2
∵P在AB上，若到D距离最短，肯定垂直于AB
（PD⊥AB）
∴三线合一（等边三角形ABD中）
∴AP=二分之一AB=2
∵PD⊥AB
∴AP^2+PD^2=AD^2
PD=2根号3
∴S△DPQ
最小为二分之根号432.

Answer 3

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=
1
2
∠ABC，AD∥BC，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°，
∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°，
∵AP=BQ，
∴△BDQ≌△ADP（SAS）；
（2）解：过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，
∵BQ=AP=2，
∵AD∥BC，
∴∠QBE=60°，
∴QE=QB•sin60°=2×
3
2
=
3
，BE=QB•cos60°=2×
1
2
=1，
∵AB=AD=3，
∴PB=AB-AP=3-2=1，
∴PE=PB+BE=2，
∴在Rt△PQE中，PQ=
PE2+QE2
=
7
，
∴cos∠BPQ=
PE
PQ
=
2
7
=
2
7
7