Question

函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是？

Answer 1

解：∵函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数，
f(-x)=-x|-x+a|+b=-[x|x+a|+b]
-b=b,->b=0
|-x+a|=|x+a|,->a=0
∴充要条件： a=0,b=0,
f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)
答案选c
谢谢采纳
~雨霁月
^_^

Answer 2

既然问的是充要条件，我们不妨先推必要性，然后再验证充分性。
即已知条件f(-x)=-f(x)，则
-x|
-x
+
a
|
+
b
=
-
x|
x
+
a
|
-
b，
(1)
-x|
x
-
a
|
+
b
=
-
x|
x
+
a
|
-
b，
(2)
（2）式要对任意x成立，故可以假设
①x=0时，得b=-b，即b=0；
②x为正数时，取x=1，得|
1
-
a
|=|
1
+
a
|，得a=0；
③x为负数时，不用考虑了，因为（2）式是对任意x成立的，
上边两个已经得到a=0，b=0。
验证，当a=0，b=0时，f(x)=x|
x
|，确是奇函数。