Question

梯形ABCD中,AD平行BC,AC与BD交点O,若△OAD和△OBC 的面积分别为S1,S2.求梯形的面积

Answer 1

首先作图梯形ABCD，（假设AD为下底，BC为上底）。
很明显，△OAD和△OBC 相似（三个角都相等）
过点O作一条垂直线，使之垂直于AD 以及 BC。并且分别交AD BC与点 E F。
很明显，OE为△OAD的高，OF为△OBC的高
根据题意： △OAD面积为S1,同时设它的高为h1（即OE长度为h1)
△OBC面积为S2,同时设它的高为h2（即OF长度为h2)
则梯形的高为：h1+h2
这里注意，△AOB 与△COD面积相等。可以设它的面积为 n。
（很容易验证，△ABD与△ACD同底同高，所以面积相等，而△ABD与△ACD又包含公共的△OAD，其面积等于S1，因此，△AOB 与△COD面积相等。）
由于，△AOD 与△ACD的底是相同的，根据三角形面积公式，它们二者的面积之比就等于两个三角形的高度之比。
所以可以列出算式S1/(S1+n) = h1/(h1+h2 ）
因为 △OAD和△OBC 相似 ，所以它们的高度之比就等于面积之比再开根号，
即h1/h2=√S1 / √S2
于是可以得出方程 S1/(S1+n) =√S1 / (√S1 +√S2)
于是解出n=√S1*√S2
梯形面积就等于S1+S2+2n=S1+S2+√S1*√S2

Answer 2

设△AOB的面积为x，△COD的面积为y
因为AD∥BC
所以∠DAO=∠OCB
因为∠AOD=∠BOC，∠DAO=∠OCB
所以△AOD∽△COB
所以S1/S2=(AO/OC)^2=(DO/OB)^2
因为△AOB和△AOD是同高的三角形
所以S1/x=OD/OB
因为S1/S2=(DO/OB)^2，S1/x=OD/OB
所以x=√S1*S2
同理可得y=√S1*S2
所以梯形的面积是S1+S2+2√S1*S2

Answer 3

过O作上下底的高，分别为h1,h2。
由△AOD∽△COB，
得AD:BC=h1:h2=（S1：S2）^0.5.
所以，梯形面积S=（AD+BC）*h/2=（AD+BC）*(h1+h2)/2
=[（1+（S1：S2）^0.5）*BC*（1+（S1：S2）*h2]/2
=（1+（S1：S2）^0.5）^2*(BC*h2/2)
=（1+（S1：S2）^0.5）^2*S2
=(根号S1+根号S2)^2

Answer 4

记S(△AOB)=x,S(△COD)=y,
S(△AOD):S(△COD)=AO:CO,
(△AOB):S(△COB)=AO:CO, S1:y=x:S2, xy=S1*S2,
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