Question

lim((x→0) (sinx/x)^1/(1-cosx)

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

①1-cosx=2sin²(x/2)
tanx=sinx/cosx=2[sin(x/2)cos(x/2)]/cosx
将上式代入原式可得
原式=lim【x→0】
[x²cos(x/2)]/[cosxsin²(x/2)]
=lim【x→0】
[cos(x/2)/cosx]*[4(x/2)²/sin²(x/2)]
=4
其中利用极限lim
cos(x/2)=1
,
lim
cosx=1
,
重要极限lim
x/sinx=1,当x→0时
②也可利用等价无穷小代换，当x→0时有tanx~x,
1-cosx~0.5x²
所以原式=lim【x→0】
x^4/(0.5x²)²=4
③也可以利用洛比达法则求解！
不明白的可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

Answer 3

题目应该是x→0＋
用自然对数法
lim((x→0＋)
ln(sinx/x)^1/(1-cosx)
=lim((x→0＋)
ln(sinx/x)/(1-cosx)
(等价无穷小代换）
=lim((x→0＋)2[
lnsinx-lnx]/x^2
(洛必达法则）
=lim((x→0＋)
[
cosx/sinx-1/x]/x
(通分）
=lim((x→0＋)
[
xcosx-sinx]/(x^2sinx)
(等价无穷小代换）
=lim((x→0＋)
[
xcosx-sinx]/x^3
(洛必达法则）
=lim((x→0＋)
[
cosx-xsinx-cosx]/(3x^2)
=lim((x→0＋)
[
-xsinx]/(3x^2)
(等价无穷小代换）
=-1/3
所以
lim((x→0＋)
(sinx/x)^1/(1-cosx)
＝lim((x→0＋)
e^[ln(sinx/x)^1/(1-cosx)]
=e^(-1/3)