Question

线性代数选择题

1．设A与B均为n阶矩阵，则下列结论中正确的是（ ）。
（A）若|AB|=0，则A=O或B=O； （B）若|AB|=0，则|A|=0或|B|=0；
（C）若AB=O，则A=O或B=O； （D）若ABO，则AO或BO。
2．设A是5×6矩阵，则下列结论正确的是（ ）。
（A）若R(A)= 4，则A中5阶子式都为0；
（B）若R(A)= 4，则A中4阶子式都不为0；
（C）若A中5阶子式都为0，则R(A)= 4；
（D）若A中存在不为0的4阶子式，则R(A)= 4。
3．对于n阶实对称矩阵A，下列结论正确的是（ ）。
（A）一定有n个不同的特征值； （B）存在正交矩阵P，使 为对角矩阵；
（C）它的特征值一定是整数； （D）对应不同特征值的特征向量不一定正交。
4．设A是n阶矩阵，且A的行列式|A|=0，则A中（ ）。
（A）必有一列元素全为零； （B）必有两列元素对应成比例；
（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合；
（D）任一列向量是其余列向量的线性组合。

Answer 1

1、B
知识点: |AB| = |A| |B|.
2、A
知识点: r(A) = r <=> A至少有一个r阶非零子式, 且所有r+1 阶子式(若存在)都为0.
3、B
知识点: 实对称矩阵可正交对角化. A,C不一定, D错
4、C
知识点: |A|=0 <=>A的列(行)向量组线性相关<=>A中存在一列(行)可由其余线性表示.

Answer 2

1、B |AB|=|A|*|B|=0，所以|A|=0或者|B|=0
2、A 根据定义可知
3、B 实对称矩阵一定可以相似对角化，即化成对角矩阵
4、C A经初等列变换后能变成一列是全0，也就是此列能有其他列线性表示

需要过程吗？