Question

拉格朗日中值定理的结论和微积分的近似值计算公式没有区别？对？错？

Answer 1

几何意义：若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。物理意义：对于直线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。法国数学家拉格朗日于1778年在其着作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理内容：如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。证明：
把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x。
做辅助函数G(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)。
易证明此函数在该区间满足条件:
1.g(a)=g(b)=0；
2.g(x)在[a,b]连续；
3.g(x)在(a,b)可导。此即罗尔定理条件，由罗尔定理条件即证。

Answer 2

令f(x)=2√3-3+1/x
f’(x)=-1/x^2
由拉格朗日中值定理，存在
ξ∈(x,1),x<1或者
ξ∈(1,x),x>1
f(x)
=f(1)
+f'(ξ)*(x-1)
=2√3-3+1-
(x-1)/ξ^2
=2√3-2-(x-1)/ξ^2
x<1时，x<ξ<1
2√3-2-(x-1)/ξ^2>2√3-2>0
x>1时，
1<ξ
2√3-2-(ξ-1)/ξ^2
=2√3-2-1/4-(-ξ^2/4+ξ-1)/ξ^2
=2√3-2-1/4+(1/2-1/ξ)^2
>2√3-2-1/4
>0
果然浪费不少啊！不过学会了怎样用拉格朗日中值定理。