Question

如何将函数f(x)=arctan[(1+x)/(1-x)]展开成x的幂级数？

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

解1：注意到一个等式的话，这个题就比较简单了
tan(π/4+arctanx)=(1+x)/(1-x)
所以
arctan[(1+x)/(1-x)]=arctan[tan(π/4+arctanx)]=π/4+arctanx
所以原式=π/4+arctanx
这样就可以直接用arctanx的展开式做了|x|<1
1/(1-x)=1+x+x^2+....
1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+...
逐项积分得arctanx=∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)
[n=0->+∞]
所以原式=π/4+arctanx=π/4+∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)
[n=0->+∞]
解2：（来自星光下的守望者）
令g(x)=arctan[(1+x)/(1-x)],g(0)=π/4
∫[0->x]g'(t)dt
=
g(x)-g(0)=g(x)-π/4
g'(x)=[(1+x)/(1-x)]'/[1+(1+x)²/(1-x)²]=1/(1+x²)
g(x)=∫[0->x]g'(t)dt+π/4=∫[0->x]
1/(1+t²)dt+π/4
易知1/(1+t²)=1-t^2+t^4-t^6+……
|t|<1
g(x)=π/4+∫[0->x]
(1-t^2+t^4-t^6+……)
dt
=π/4+(x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+……)
=π/4+∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)
[n=0->+∞]