Question

求幂级数∑(∞,n=1)nx^n的和函数. 下面是两种方法,谁能帮我判断一下方法的对错,并稍微指点一下原因.

法1:显然该幂级数的收敛半径R=1,又设∑(∞,n=1)nx^n=S(x),则
S(x)=x∑(∞,n=1)nx^(n-1) (|x|<1).
记f(x)=∑(∞,n=1)nx^(n-1)=1+2x+3x^2+....+nx^(n-1)+....,两端从0到x积分得
∫(x,0)f(x)dx=∑(∞,n=1)∫(x,0)nx^(n-1)dx=∑(∞,n=1)x^n=x/(1-x) (|x|<1)
所以 f(x)=(x/(1-x))′=1/(1-x)²,
于是 S(x)=xf(x)=x/(1-x)² (|x|<1).

法2:令f(x)=S(x)+∑(∞,n=1)x^n=∑(∞,n=1) (n+1)x^n (|x|<1)
两端从0到x积分得
∫(x,0)f(x)dx
=∑(∞,n=1)∫(x,0) (n+1)x^n dx
=∑(∞,n=1) x^(n+1)=x/(1-x)^2
(|x|<1)
所以 S(x)=f(x)-∑(∞,n=1) x^n=(1-x+x²)/(1-x)²

Answer 1

此题在倒数第三行出现了问题.
∑(∞,n=1) x^(n+1)不等于=x/(1-x)^2
应该是等于(2x-x^2)/(1-x)^2
接着算下去结果就同第一法一样