Question

计算极坐标下的二重积分？

算了好多遍都跟标准答案不一样QAQ
球球大佬给个详细的计算过程啦～





Answer 1

前面那位回答已经很清楚，我从几何意义上作一些解释：
极坐标系下的面积微元与直角坐标系下的面积微元完全不同，后者是边长分别是dx和dy的矩形，前者则是两个同心的扇形之间的部分：
从极点出发化两条射线，它们之间的夹角是 dθ，在角的一边上标出两个点，一个是 r,另一个是 r+dr，然后分别以 r 和 dr 为半径画圆弧与另一条边相交，两个圆弧之间的平面图形就是极坐标系下的面积微元，它的面积就是dS.
下面计算dS：扇形面积等于半径的平方乘以圆心角的弧度数的一半，所以这个图形的面积等于 (1/2)[(r+dr)^2-r^2]dθ=[rdr+(1/2)(dr)^2]dθ;
注意当 dr 趋于零时 (dr)^2 是高阶无穷小，因此将其忽略，得到
dS=rdrdθ

Answer 2

Answer 3