Question

同济第七版高等数学的几种曲面积分求法

Answer 1

你好！第二类曲面积分的算法总结如下：
1：由于是有方向性的，所以有
“偶零奇倍”性质，跟一般情况相反的
F(x)是偶函数时，若Σ关于相应的面是对称的，一个部分取
+，一个部分取
-
结果就是F(x)
-
F(-
x)
=
F(x)
-
F(x)
=
0，两个部分互相抵消了
F(x)奇函数时，同样情况，一个部分取
+，一个部分取
-
结果就是F(x)
-
F(-
x)
=
F(x)
+
F(x)
=
2F(x)，两个部分的积分都相等，可叠加
2：三合一公式
对于Σ是z
=
z(x,y)形式的
法向量n
=
±
{
-
z'x，-
z'y，1
}
则∫∫_(Σ)
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
=
±
∫∫_(D)
{
P(-
z'x)
+
Q(-
z'y)
+
1
}
dxdy
取上/右/前
侧时，取
+
号
取下/左/后
侧时，取
-
号
3：高斯公式
∫∫_(Σ)
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
=
±
∫∫∫_(Ω)
(∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z)
dxdydz
-
∫_(Σ和)
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
后面(Σ和)那部分，若原本给的曲面是不能围成封闭空间的话，不能直接使用高斯公式，需要补上几个面后使得区域封闭，例如补上若干个(Σ和)曲面，就可以运用高斯公式了，还要注意最后要减少所补上那几个曲面(Σ和)相应的积分
4：挖洞
若在Σ上，被积函数上有奇点的话，也不能直接运用高斯公式
需要补上一个小空间r=ε，足以包括所有内部的奇点的，然后取半径ε趋向0
运用高斯公式时也要减去这个部分相应的积分
所以有∫∫_(Σ)
=
±
∫∫∫_(Ω)
-
∫∫_(ε)
5：替代
若被积函数f的方程是在Σ上，则可以优先把Σ的方程代入f中
例如给Σ方程：x²+y²+z²=a²
则∫∫_(Σ)
(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)/√(x²+y²+z²)
=
∫∫_(Σ)
(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)/a
=
(1/a)∫∫_(Σ)
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
于是这样，就可以避免了4：的情况，不用挖洞
去掉奇点后就可以继续补面使用高斯公式了
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