Question

求证：2x^2－5y^2=7没有整数解。

Answer 1

假设有整数解，则
2x^2 = 5y^2 + 7
等式左边为偶数，所以右边也必须为偶数。7为奇数，所以5y^2必须也为奇数，即y为奇数。
考察等式右边被8除的余数。首先y为奇数，奇数的平方被8除一定余1，所以5y^2被8除余5。5y^2+7 被8除余4。
再考察等式左边，若x为奇数，2x^2被8除余2，若x为偶数，2x^2被8除余0。
因此，左右两边被8除的余数不可能相同，因而等式两边不可能相等。即2x^2－5y^2=7不可能有整数解。