Question

高中数学一导数题

已知实数a≠0,函数f(x)=ax(x-2)^2,若对任意x[∈-2,1]，不等式f(x)<32恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

我不知道你的这个a后面那个是乘号还是变量x，我分情况告诉你吧
如果是乘号的话：
1）当a>0时，在【-2,1】区间内函数递减，只需f（-2）<32,求的0<a<2
2)当a<0时,在【-2,1】区间内函数递增，f（x）在此区间内恒小于0
所以a的范围是a<2且a不等于0
如果是变量的话：
首先对f求导=a（3x^2-8x+4），令导数=0求的导数跟为2与2/3,
1）a>0时
在负无穷到2/3区间内导数>0,f为增函数；在[2/3,2]内导数<0,f为减；在2到正无穷内导数>0,f为增
这样便可画出f的大体函数走向，注意过原点，画出图后可知当f(2/3)<32即可，这样便可求得a的值。
2）a<0时
方法与上面一样，只是函数走向与a>0时相反，所以只需f（-2）<32,即可求得a值
再将这两者综合起来即可。
希望采纳

Answer 2

对函数求导可得：f'(x)=a*(x-2)^2+2ax*(x-2)=3ax^2-6ax+4a
判别式=36a^2-48a^2=-12a^2<0,说明函数单调减函数。
当a<0时，保证f(-2)<32,得到a>-2,即-2<a<0
当a>0,保证f(1)<32,得到a<32，即0<a<32