Question

什么是计算定积分的高斯求积公式

Answer 1

高斯求积公式是变步长数值积分的一种，基本形式是计算[-1,1]上的定积分。下面简单说明一下思想（仅仅是说明，而非证明）：
假设现在要求
f(x)在[-1,1]上的积分值，只允许计算一次
f(x)的值，你会怎么做呢？显然我们会选取一点
x0,计算出
f(x0),然后用
a
=
f(x0)
*
2
作为近似值。现在问题是怎样选取
x0，使得结果尽可能精确呢？直觉告诉我们选取区间中点最合适，这也就是所谓的中点公式，也就是1点高斯求积公式。
如果选取个点作为计算节点，同样可以按公式：a
=
k1
*
f(x1)
+
k2
*
f(x2)
+
...
+
kn
*
f(xn)
来计算近似值，关键就是如何确定节点
xi
和系数
ki
（i
=
1,2,3,...,n)
理论证明对于
n个节点的上述求积公式，最高有
2n
-
1
次的代数精度，高斯公式就是使得上述公式具有
2n
-
1次代数精度的积分公式。至于如何确定公式中的节点和系数，最常见的是利用勒让德多项式，具体的这里不方便说，你查查相关资料吧。

Answer 2

∫∫2xzdydz+y(1+2z)dzdx+(9-z^2)dxdy
高斯公式：
=∫∫∫[2z+(1+2z)-2z]dxdydz
=∫∫∫(1+2z)dxdydz
∑是曲面Z=1-x^2+y^2
使用柱坐标，x=rcosθ，y=rsinθ
则z的积分限（0，1-r^2）
r的积分限（0，1）
θ的积分限（0，2π）
=∫(0，2π）∫(0,1)dr∫(0,1-r^2)r(1+2z)dz
=2π∫(0,1)[1-r^2+(1-r^2)^2]rdr
=2π*(r^2-1/4r^4-2/5r^5+1/6r^6)|x=1
=31π/30
中间的具体积分就不用写了吧