Question

点关于直线对称点公式推导

Answer 1

点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.

点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.

直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.
分析 本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.
解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得 ，
即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B（8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.

直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
分析 由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.
解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），
将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，
故所求直线l的方程为x-y+3=0.
点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.

Answer 2

有公式但很麻烦,不值得记忆，因为公式一麻烦，就容易记错误，如两点式就很令人讨厌，于是，我往往不用两点式
a（x0,y0）直线ax+by+c=0
令b(x1,y1)为点关于直线的对称点
则a(x0+x1)/2+b(y0+y1)/2+c=0
a(y1-y0)=b(x1-x0)解方程即可
值得注意的是如果是关于y=x+c或y=-x+c对称
则可以直接代方程，如a（x0,y0）令b(x1,y1)为点关于直线y=x+c的对称点y=x+c=x0+cx=y-c=y0-cb(x0+c,y0-c)

Answer 3

利用解析几何中两个结论设两个方程，解方程组
1.两对称点的中点在直线上
a(x+m)/2+b(y+n)/2+c=0
2.两对称点所在直线与原直线垂直，即两直线斜率乘积得—1
(y-n)/(x-m)
*(-a/b)=-1
解方程组既得x=m-2a*[(ma+nb+c)/(a^2+b^2)]
y=n-2b*[(ma+nb+c)/(a^2+b^2)]