Question

已知a,b,c是互不相等的正数，求证:(2/(a+b))+(2/(b+c))+(2/(c+a))>(9/(a+b+c)).

Answer 1

例：设a、b、c
为正数且各不相等。
　　求证：
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)
　　分析：∵a
、b
、c
均为正数
　　∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
　　而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
　　又
9=(1+1+1)(1+1+1)
　　证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
　　又
a、b
、c
各不相等，故等号不能成立
　　∴原不等式成立。
　

Answer 2

2/（a+b）<=
sqrt(ab)
原式左边放大,只需证
(sqrta+sqrtb+sqrtc)/sqrt(abc)>=9/(a+b+c)
都为正数两边平方
得结果左边分子再放大
分子写成3(a+b+c)
因(a+b+c)^3/27>=abc
得证