Question

定积分∫¹（√（1-x²））dx为什么等于¼圆

Answer 1

定积分∫₀¹[√(1-x²)]dx中，被积函数f(x)=√(1-x²)，x∈[0，1]表示单位园在第一象限内的圆弧，根据定积分的几何意义，∫₀¹[√(1-x²)]dx表示曲线f(x)=√(1-x²)，x∈[0，1]和直线y=0、x=0所围成的平面图形的面积，即¼圆的面积。

Answer 2

从定积分的定义来看，此积分可以看作是对于一个梯形求面积，该梯形一条腰为y=x+1，另一条腰为x轴，上下底为平行于y轴的线段。于是可知，该梯形上底为y1=x1+1=1+1=2，下底为y2=x2+1=2+1=3，高为2哗定糕剐蕹溉革税宫粳-1=1，于是梯形面积=（2+3）×1÷2=2.5。不是3.5。实际上用定积分公式计算也是2.5.