Question

高悬赏一道线性代数题目，有解释，好好看，帮我解释一下

Answer 1

解法一是中规中矩的解法，传统型.
求
特征值
的
行列式
|A－λE|是一个很特殊的行列式，所有的列加到第一列上，提取公因子后，第一行乘以－1加到下面各行，则有|A－λE|＝(1＋(n-1)b－λ)(λ－1－b)^(n-1)，所以特征值是1+(n-1)b
与
n-1
个
1-b
解法二也是求矩阵的特征值的一个常用的方法，尤其是矩阵是一个抽象的矩阵，不知道具体元素的时候.
利用矩阵的特征值的定义，我们可以很容易的得到结论：如果f(x)是一个
多项式
a0＋a1x＋…＋anx^n，λ是矩阵A的一个特征值，则f(λ)是矩阵f(A)＝a0E＋a1A＋…＋anA^n的特征值，且对应的
特征向量
不变一般的书上或者老师应该要提到的.
这里把A分解为A＝B＋(1-b)E，所以A的特征值λ(A)＝λ(B)＋(1-b)，以λ(B)表示矩阵B的特征值.
B是一个秩为1的矩阵，用
特征多项式
很容易求出B的特征值是nb和n-1个0，所以A的特征值是1+(n-1)b和n-1个1-b了，这实际上就不如直接用解法一，计算量差不了多少嘛.
解法二还应该这样考虑：B是一个秩为1的矩阵，可以分解为B＝b(1,1,...,1)'(1,1,..,1)（这里(1,1,...,1)'表示向量(1,1,...,1)的
转置
，下同），观察其特点，有结论：
B(1,1,...,1)'＝nb(1,1,...,1)'，所以nb是B的特征值，对应的特征向量是(1,1,...,1)'
B(1,-1,0,...,0)'＝0，B(1,0,-1,0,...,0)'＝0，……，B(1,0,0,...0,-1)'＝0，所以0是特征值，n-1重，对应的特征向量是(1,-1,0,...,0)'，(1,0,-1,0,...,0)'，……，(1,0,0,...0,-1)'
所以，A的特征值是
1+(n-1)b，特征向量是(1,1,...,1)'
n-1重(n-1)b，特征向量是(1,-1,0,...,0)'，(1,0,-1,0,...,0)'，……，(1,0,0,...0,-1)'

这样就可以和第二题结合起来

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以上解答仅供参考，希望对你有所帮助