Question

虚数问题

设a、b、c为正整数,
且满足关系式c=(a+bi)^3-107i,
试求c的值

Answer 1

c是正整数,所以c∈R.
c=(a+bi)^3-107i
即，c=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3-107)i.
∴3a^2b-b^3-107=0
即，b(3a^2-b^2)=107.
而107是质数,所以:

(1)
b=1
3a^2-b^2=107
解得,a=6,b=1

(2)
b=107
3a^2-b^2=1
无正整数解.

故c=a^3-3ab^2=198.

Answer 2

c=a^3+3a^2*bi-3ab^2-b^3*i-107i
=(a^3-3ab^2)+(3a^2*b-b^3-107)*i
因为a,b,c为正整数
所以3a^2*b-b^3-107=0
即b*（3a^2-b^2）=107
所以b只能取1或107
b=1时a=6
b=107时a非整数舍去
所以a=6,b=1,c=a^3-3ab^2=198

Answer 3

去掉三次方c=a^3-3*a*b^2+(3*b*a^2-b^3)*i-107*i因为a b c都是整数 所以c的表达式里不含i所以3ba^2-b^3=107即b(3a^2-b^2)=107考虑到107是质数 所以b=1 (b=107不成立) 3a^2-b^2=107 从而a=6 所以c=198