Question

设函数f(x,y)连续，且满足f(x,y)=x∫∫f（x,y)dσ+y^2,其中D：x^2+y^2≤a^2,则f(x,y)=？

Answer 1

显然，∫∫D f（x,y)dσ 是个常数，所以 f(x,y) 可以表示为 f(x,y) = cx + y^2
这样， ∫∫D f（x,y)dσ = c∫∫D x dσ + ∫∫D y^2 dσ
积分区域D：x^2+y^2≤a^2，即圆 x^2+y^2=a^2 内部。
用极坐标。 D：x^2+y^2≤a^2 对应于 r<=a，则：
c∫∫D x dσ = c ∫_(0<=θ<=2π) cosθ dθ ∫_(0<=r<=a) r^2 dr = 0，
∫∫D y^2 dσ = ∫_(0<=θ<=2π) (sinθ)^2 dθ ∫_(0<=r<=a) r^3 dr
= ∫_(0<=θ<=2π) [1-cos(2θ)] / 2 dθ * (a^4/4) = πa^4/4

所以，那个常数 c=∫∫D f（x,y)dσ = πa^4/4，
f(x,y) = (πa^4/4) x + y^2