Question

已知函数f(x)=[4^x+k(2^x)+1]/(4^x+2^x+1)

已知函数f(x)=[4^x+k(2^x)+1]/(4^x+2^x+1)
1.若函数的最小值是—3，求实数k的取值范围；
2.若对于任意的x1,x2,x3,均存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边长的三角形，求实数k的取值范围

Answer 1

设2^x=m(m>0),则4^x=m^2,
g(m)=[m^2+km+1]/[m^2+m+1]=1+(k-1)/(m+1/m+1) （m>0)与f(x)等效；
设t=m+1/m (m>0), 则t >=2根号[m*(1/m)]=2,
h(t)=1+(k-1)/(t+1) (t>=2)也与f(x)等效。
1.h(t)min=f(x)min=-3, 则（k-1)/(t+1)min=-2,又t+1>0,则k-1<0
当k-1<0时，h(t)为增函数，h(t)min=h(tmin)=h(2)=1+(k-1)/3=-3,k=-11
2. f的任意3个函数值为边可构成三角形，即任意两个函数值h(t1),h(t2)之和会大于第三个函数 值h(t3),则只要满足2h(t)min>h(t)max即可。
1).k-1<0时，h(t)增函数，h(t)min=h(tmin)=h(2)=1+(k-1)/3;
当t→∞时，h(t)max趋近于但小于Lim h(t) =1,因为(k-1)/(t+1）<0恒成立；
则，1+(k-1)/3>=1/2Lim h(t)=1/2, 得k>=-1/2;
加上前提条件k<1,则-1/2≦k<1
2).k-1=0时，h(t)=1恒成立，构成等边三角形
3).k-1>0时，h(t)减函数，则h(t)max=h(tmin)=h(2)=1+(k-1)/3;
当t→∞时，h(t)min趋近于但大于Lim h(t) =1,因为(k-1)/(t+1）>0恒成立；
2h(t)min>h(t)max,即2Lim h(t)>=h(t)max,2>=1+(k-1)/3，则k<=4;
加上前提条件则1<k<=4
综上所述，-1/2≦k<=4

1）.k-1<0

Answer 2

1.先化简，f(x)=[4^x+k(2^x)+1]/(4^x+2^x+1)=[4^x+(2^x)+1+(k-1)(2^x)]/(4^x+2^x+1)=1+(k-1)(2^x)/(4^x+2^x+1)=1+(k-1)/[(4^x+2^x+1)/(2^x)]=1+(k-1)/(2^x+1+1/2^x),
而由均值不等式，2^x+1+1/2^x≥2+1=3。
函数又有最小值，故k-1＜0且最小值为-3=1+(k-1)/3；
可得k=-11
2.设函数的最大最小值分别为max，min，则有max＞2min。
若k-1＜0，则由上题知min=1+(k-1)/3，max＜1-0=1。
联立以上三式，有2[1+(k-1)/3]≤1，解得k≤-1/2；
若k-1＞0，……分析如上（这些公式很难打呀！崩溃了~自己做剩下的吧）