Question

设三阶矩阵A=(aij的特征值为1，2，3，Aij为aij的代数余子式，求A11+A22+A33

Answer 1

设a的特征值为λ1、λ2、λn，由于r（a）=1。

 λ1=t≠0，λ2=λ3=…=λn=0。

由于λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann=1。

∴λ1=1，λ2=λ3=…=λn=0。

存在可逆矩阵p，使得p-1ap=∧。

∴a10=p∧10p-1。

∴a10-a=p（∧10-∧）p-1=pop-1=o。

简介

特征值是指设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

Answer 2

（1）设a的特征值为λ1、λ2、…、λn，由于r（a）=1，必有
λ1=t≠0，λ2=λ3=…=λn=0
又由于λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann=1
∴λ1=1，λ2=λ3=…=λn=0
（2）由（1）知，a的特征值只有1（1重）和0（n-1重）
而r（a）=1，因此-ax=0的基础解系含有n-r（-a）=n-r（a）=n-1个解向量
即特征值0的特征向量有n-1重
又不同特征值的特征向量是线性无关的
∴a有n个线性无关的特征向量
∴a可以相似于对角矩阵∧＝
1
0
…
0
0
0
…
0
?
?
?
?
0
0
…
0
（3）由（2）知，存在可逆矩阵p，使得p-1ap=∧
∴a10=p∧10p-1
∴a10-a=p（∧10-∧）p-1=pop-1=o