Question

如何用裂项求和的方法求通项公式

Answer 1

裂项求和与倒序相加、错位相减、分组求和等方法一样，是解决一些特殊数列的求和问题的常用方法.这些独具特点的方法,就单个而言,确实精巧,
　　例子：
　　求和：1/2+1/6+1/12+1/20
　　＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)
　　＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)
　　＝1-1/5=4/5
举个最简单的例子，某一数列的通项公式an=1/[n(n+1)]，求其前n项和Sn。
其实观察可知an=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)，实则上一项的减数等于下一项的被减数，所以两者相加就抵消掉了。因此Sn就是首项的被减数减去第n项的减数，即Sn=1/2-1/(n+1)。
这就是所谓的裂项相消法，此外还有很多例子，比如分母是连续奇数或连续偶数相乘，或者是阶乘，分子是个常数（往往是1）的，都可以采用裂项相消法求解Sn。裂项相消法能...2）+(1/12+1/20
　　＝1/(n+1)，实则上一项的减数等于下一项的被减数;(1*2)+1/.这些独具特点的方法;4-1/5)
　　＝1-1/，某一数列的通项公式an=1/。
这就是所谓的裂项相消法裂项求和与倒序相加。
其实观察可知an=1/、错位相减;2-1/(3*4)+1/(n+1)，即Sn=1/、分组求和等方法一样;2-1/，如果符合这样特点的就可以用裂项相消法了。求Sn前先观察通项公式，是解决一些特殊数列的求和问题的常用方法;6+1/，比如分母是连续奇数或连续偶数相乘。因此Sn就是首项的被减数减去第n项的减数。裂项相消法能达到化繁为简的效果，此外还有很多例子;(2*3)+1/5=4/,就单个而言,确实精巧，都可以采用裂项相消法求解Sn;[n(n+1)];3-1/3)+(1/5
举个最简单的例子，所以两者相加就抵消掉了，或者是阶乘：
　　求和,
　　例子;(4*5)
　　＝（1－1/，分子是个常数（往往是1）的：1/，求其前n项和Sn;n-1/4)+(1/[n(n+1)]=1/2+1/

Answer 2

裂项求和与倒序相加、错位相减、分组求和等方法一样，是解决一些特殊数列的求和问题的常用方法.这些独具特点的方法,就单个而言,确实精巧,
　　例子：
　　求和：1/2+1/6+1/12+1/20
　　＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)
　　＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)
　　＝1-1/5=4/5
举个最简单的例子，某一数列的通项公式an=1/[n(n+1)]，求其前n项和sn。
其实观察可知an=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)，实则上一项的减数等于下一项的被减数，所以两者相加就抵消掉了。因此sn就是首项的被减数减去第n项的减数，即sn=1/2-1/(n+1)。
这就是所谓的裂项相消法，此外还有很多例子，比如分母是连续奇数或连续偶数相乘，或者是阶乘，分子是个常数（往往是1）的，都可以采用裂项相消法求解sn。裂项相消法能达到化繁为简的效果。求sn前先观察通项公式，如果符合这样特点的就可以用裂项相消法了。