Question

证明不等式：ln(x+1)≤1+1/2+1/3+......+1/n＜1+lnn

Answer 1

证明：令
f(x)
=1/x,
则
f(x)
在区间
[
n,
n+1
]
上的最大值为
f(n)
=1/n,
最小值为
f(n+1)
=1/(n+1).
由定积分性质,
得
1/(n+1)
<
f(x)在[
n,
n+1
]
上的定积分
<
1/n
即
1/(n+1)
<
ln
(n+1)
-ln
n
<
1/n.
所以
1/2
<
ln
2
<
1,
1/3
<
ln3
-ln2
<
1/2,
...
...
1/(n+1)
<
ln
(n+1)
-ln
n
<
1/n,
所以
1/2
+1/3
+...
+1/(n+1)
<
ln
(n+1)
<
1
+1/2
+1/3
+...
+1/n,
同理,
1/2
+1/3
+...
+1/n
<
ln
n,
所以
1
+1/2
+1/3
+...
+1/n
<
1
+ln
n.
综上,
ln
(n+1)
<1
+1/2
+1/3
+...
+1/n
<
1
+ln
n.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
定积分的性质：
设M,m
分别是
f(x)
在
[a,b]
上的最大值及最小值,
则
m
(b-a)
<=
f(x)
在
[a,b]
上的定积分
<=
M
(b-a).