Question

高中数学解析几何问题

已知直线（1+3m）x-（3-2m）y-（1+3m）=0 (m属于R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点 椭圆C方程为(X^2)/4+(y^2)/3 =1 设过点F的直线L交椭圆与AB两点 若12/5<=|FA||FB|<=18/7 求直线L的斜率的取值范围

Answer 1

法一：
设L斜率为k，则|FA||FB|=(1+1/k^2)|yA*yB|
L：y=k(x-1)
C:x^2/4+y^2/3=1
联立得yA*yB=-9k^2/(4k^2+3)
代入得12/5<=|FA||FB|=(9k^2+9)/(4k^2+3)<=18/7
解得-根号3<=k<=-1或1<=k<=根号3

法二：
设|FA|=d1,|FB|=d2，直线倾斜角x
则d1cosx+1=xA,d1sinx=yA
d2cosx-1=xB,-d2sinx=yB
分别带入椭圆方程可得d1=(2-cosx)/(1+sinx^2/3),d2=(2+cosx)/(1+sinx^2/3)
则d1d2=3/(1+sinx^2/3)
解得pai/4<=x<=pi/3或2/3pai<=x<=3/4pai
即-根号3<=k<=-1或1<=k<=根号3

法三：
因为F为焦点，
则|FA||FB|=(a-exA)(a-exB)=4-(xA+xB)+(1/4)*xAxB
同法一联立方程可解得。

其中法一无论是从思路还是计算都是最简单的 回答者： 热心网友 | 2011-5-21 22:52 | 检举
1. 由（1+3m）x-（3-2m）y-（1+3m）=0 =》 （3x+2y+3）m+(x-3y+1)=0
可得方程组：
(1) 3x+2y+3=0
(2) x-3y+1=0
由（1）（2）联立得 x=-1, y=0
因此得到该条直线横过定点（-1，0）。
2. 由1知直线L过椭圆的左焦点（-1，0），设直线L为:y=k(x+1)
(X^2)/4+(y^2)/3 =1 （3）
y=k(x+1) （4）
由方程组（3）（4）联立消去y可得:
(3+4k^2)x^2 +8k^2x +4k^2-12=0
设直线和椭圆的焦点分别为（x1,y1）,(x2,y2),则有
x1+x2=-8k^2/3+4k^2 (5)
x1*x2=4k^2-12/3+4k^2 (6)
3 由椭圆的第二定义知
|FA|=a+c/ax1 (7)
|FB|=a+c/ax2 (8)
由（7）（8）得 |FA||FB|=a^2+c(x1+x2)+c^2/a^2*x1*x2 （9）
将（5）（6）带入（9）即可得到 |FA||FB是关于k的二次函数，然后解不等式即可。
即：
12/5<=9(k^2+1)/(4k^2+3)<=18/7
得 x属于[-3,-1]并上[1,3]. 回答者： 阳光俞淼 | 二级 | 2011-5-21 22:55 | 检举
由(X^2)/4+(y^2)/3 =1
知a=2 b=√3 c=√(a^2-b^2)=1 e=c/a=1/2
焦点为F1(-1,0) F2(1,0)
代入直线方程（1+3m）x-（3-2m）y-（1+3m）=0
左焦点F1满足条件，即直线L经过F1。
可设直线L的方程为y=k(x+1)，交椭圆于A(x1,y1,) B(x2,y2)
则IFAI=a-ex1=2-x1/2 IFBI=a-ex2=2-x2/2
|FA||FB|=(2-x1/2 )(2-x2/2)=4-(x1+x2)+(x1*x2)/4 （1）
把y=k(x+1)代入(X^2)/4+(y^2)/3 =1
得(3+4k^2)x^2 +8k^2x +4(k^2-3)=0
x1+x2=-8k^2/(3+4k^2) (2)
x1*x2=4(k^2-3)/(3+4k^2) (3)
(2)(3)代入(1) |FA||FB|=4-8k^2/(3+4k^2)+(k^2-3)/(3+4k^2)=9(1+k^2)/(3+4k^2)
因12/5<=|FA||FB|<=18/7
1. 9(1+k^2)/(3+4k^2)≥12/5 (3+4k^2>0)
15(1+k^2)≥4(3+4k^2) k^2≤3
-√3≤k≤√3
2. 9(1+k^2)/(3+4k^2)≤18/7
7(1+k^2)≤2(3+4k^2) K^2≥1
-1≥K或k≥1
综上 -√3≤k≤-1 和1≤k≤√3

Answer 2

法一：
设L斜率为k，则|FA||FB|=(1+1/k^2)|yA*yB|
L：y=k(x-1)
C:x^2/4+y^2/3=1
联立得yA*yB=-9k^2/(4k^2+3)
代入得12/5<=|FA||FB|=(9k^2+9)/(4k^2+3)<=18/7
解得-根号3<=k<=-1或1<=k<=根号3

法二：
设|FA|=d1,|FB|=d2，直线倾斜角x
则d1cosx+1=xA,d1sinx=yA
d2cosx-1=xB,-d2sinx=yB
分别带入椭圆方程可得d1=(2-cosx)/(1+sinx^2/3),d2=(2+cosx)/(1+sinx^2/3)
则d1d2=3/(1+sinx^2/3)
解得pai/4<=x<=pi/3或2/3pai<=x<=3/4pai
即-根号3<=k<=-1或1<=k<=根号3

法三：
因为F为焦点，
则|FA||FB|=(a-exA)(a-exB)=4-(xA+xB)+(1/4)*xAxB
同法一联立方程可解得。

其中法一无论是从思路还是计算都是最简单的

Answer 3

1. 由（1+3m）x-（3-2m）y-（1+3m）=0 =》 （3x+2y+3）m+(x-3y+1)=0
可得方程组：
(1) 3x+2y+3=0
(2) x-3y+1=0
由（1）（2）联立得 x=-1, y=0
因此得到该条直线横过定点（-1，0）。
2. 由1知直线L过椭圆的左焦点（-1，0），设直线L为:y=k(x+1)
(X^2)/4+(y^2)/3 =1 （3）
y=k(x+1) （4）
由方程组（3）（4）联立消去y可得:
(3+4k^2)x^2 +8k^2x +4k^2-12=0
设直线和椭圆的焦点分别为（x1,y1）,(x2,y2),则有
x1+x2=-8k^2/3+4k^2 (5)
x1*x2=4k^2-12/3+4k^2 (6)
3 由椭圆的第二定义知
|FA|=a+c/ax1 (7)
|FB|=a+c/ax2 (8)
由（7）（8）得 |FA||FB|=a^2+c(x1+x2)+c^2/a^2*x1*x2 （9）
将（5）（6）带入（9）即可得到 |FA||FB是关于k的二次函数，然后解不等式即可。
即：
12/5<=9(k^2+1)/(4k^2+3)<=18/7
得 x属于[-3,-1]并上[1,3].

Answer 4

由(X^2)/4+(y^2)/3 =1
知a=2 b=√3 c=√(a^2-b^2)=1 e=c/a=1/2
焦点为F1(-1,0) F2(1,0)
代入直线方程（1+3m）x-（3-2m）y-（1+3m）=0
左焦点F1满足条件，即直线L经过F1。
可设直线L的方程为y=k(x+1)，交椭圆于A(x1,y1,) B(x2,y2)
则IFAI=a-ex1=2-x1/2 IFBI=a-ex2=2-x2/2
|FA||FB|=(2-x1/2 )(2-x2/2)=4-(x1+x2)+(x1*x2)/4 （1）
把y=k(x+1)代入(X^2)/4+(y^2)/3 =1
得(3+4k^2)x^2 +8k^2x +4(k^2-3)=0
x1+x2=-8k^2/(3+4k^2) (2)
x1*x2=4(k^2-3)/(3+4k^2) (3)
(2)(3)代入(1) |FA||FB|=4-8k^2/(3+4k^2)+(k^2-3)/(3+4k^2)=9(1+k^2)/(3+4k^2)
因12/5<=|FA||FB|<=18/7
1. 9(1+k^2)/(3+4k^2)≥12/5 (3+4k^2>0)
15(1+k^2)≥4(3+4k^2) k^2≤3
-√3≤k≤√3
2. 9(1+k^2)/(3+4k^2)≤18/7
7(1+k^2)≤2(3+4k^2) K^2≥1
-1≥K或k≥1
综上 -√3≤k≤-1 和1≤k≤√3