Question

求证:对于任意的x∈【-1,1】,都arcsinx+arccosx=π/2

Answer 1

x∈【-1,1】

arcsinx+arccosx=π/2

设arcsinx=a arccosx=b

则 x=sina x=cosb

所以 sina=cosb=sin(π/2-b)

所以 sina=sin(π/2-b)

因为 -π/2≤a≤π/2

0≤b≤π

所以 -π/2≤π/2-b≤π/2

所以 a=π/2-b a+b=π/2

同角三角函数

（1）平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

（2）积的关系：

sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα

Answer 2

令θ=arcsinx,
∵x∈[-1,1],∴θ∈[-π/2,π/2] ,则sinθ=x,
下面证明 arccosx=π/2-θ即可
（要证明两个角相等,需证明两个方面 的内容：
1º两个角的同名函数值相等
2º两个角处于该函数的单调区间内）
∵cos(π/2-θ)=sinθ=x
cos(arccosx)=x
∴ cos(arccosx)=cos(π/2-θ)
又x∈[-1,1],araccosx∈[0,π]
θ∈[-π/2,π/2],∴π/2-θ∈[0,π]
∴arccosx=π/2-θ
即arcsinx+arccosx=π/2